Дифференциальные уравнения. Тестовые задания - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

9
3) Уравнения вида
(
)
0=
′′′
y,y,yF
, явно не содержащие пере-
менную
x
, допускают понижение порядка путем подстановки
(
)
ypy
=
′
,
pp
dy
dp
py
′
⋅=⋅=
′′
.
При этом получаем два следующих последовательно решаемых урав-
нения первого порядка:
(
)
0=
′′
′
y,y,yF
⇔
(
)
()
⎩
⎨
⎧
=
′
=
′
.p;p;yF
,ypy
0
Формальное отсутствие аргумента
x
позволяет рассматривать функ-
цию
p
как функцию аргумента
y
.
1.2 Задачи для активного обучения
1.2.1. Составить дифференциальное уравнение по заданному семей-
ству интегральных кривых
3
Cxy =
.
Решение. Продифференцируем по
x равенство
3
Cxy =
, получим
2
3 xCy =
′
. Кроме того, очевидно,
3
x
y
C =
. Поэтому искомое дифферен-
циальное уравнение принимает вид:
yyx 3=
′
.
1.2.2. Зная, что xCy ln=
является общим решение уравнения
yxyx =
′
ln , найти интегральную кривую, проходящую через точку
()
1,eM
.
Решение. В данном случае необходимо найти решение задачи Коши с
начальным условием
(
)
1
=
ey
:
()
1ln == eCey
, откуда 1
=
C . Искомая ин-
тегральная кривая задается теперь уравнением xy ln= .
1.2.3. Найти общее решение уравнения
(
)
xyyx ln4
2
+=
′
.
Решение. Имеем уравнение с разделяющимися переменными:
()
xy
dx
dy
x ln4
2
+=⋅
.
Умножим обе части уравнения на
dx :
(
)
dxxydyx ⋅+=⋅ ln4
2
.
Далее обе части уравнения поделим на выражение
(
)
2
4 yx +
, которое,
очевидно, в данном уравнении не может обратиться в ноль:

Страницы