Дифференциальные уравнения. Тестовые задания - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

7
Существует несколько методов решения уравнений данных видов:
метод вариации произвольных постоянных, метод интегрирующего мно-
жителя, метод Бернулли.
Рассмотрим метод Бернулли. При этом решение каждого из уравне-
ний (1.6), (1.7) ищется в виде
vuy ⋅=
,
где
()
(
)
xvv,xuu
=
=
- неизвестные функции.
По правилу дифференцирования произведения получим
vuvuy
′
+
′
=
′
(аргумент "
x
"
в дальнейшем опускаем).
В этом случае линейное уравнение (1.6), например, записывается
следующим образом
()
qpvvuvu =+
′
+
′
.
Множитель
(
)
xvv
=
можно выбрать как некоторое решение уравне-
ния
0=+
′
pvv .
Тогда исходное уравнение оказывается эквивалентным уравнению с
разделяющимися переменными
qvu =
′
, общее решение которого есть
некоторая
()
C,xuu =
.
Окончательно общий интеграл линейного дифференциального урав-
нения примет вид
() ( )
C,xuxvy ⋅=
.
Таким образом, в процессе решения приходится дважды решать
уравнения с разделяющимися переменными.
По той же схеме решается и уравнение Бернулли.
1.1.5 Дифференциальные уравнения второго порядка, допускаю-
щие понижение порядка
Уравнение вида
()
y,y,xfy
′
=
′′
, (1.8)
связывающее между собой независимую переменную
x
, неизвестную
функцию
()
xy
и ее производные
() ()
xy,xy
′′′
, называется дифференциаль-
ным уравнением второго порядка (разрешенным относительно второй
производной).
Общим решением уравнения (1.8) называется функция
()
21
C,C,xyy =
, зависящая от двух произвольных постоянных
1
C
и
2
C
,
которая при любых значениях
21
С,С
является решением (1.8) .

Страницы