Дифференциальные уравнения. Тестовые задания - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

8
Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка со-
стоит в следующем: найти решение уравнения (1.8), удовлетворяющее
заданным начальным условиям
(
)
(
)
0000
yxy,yxy
′
=
′
=
.
Геометрически, имеем задачу нахождения интегральной кривой
(
)
xyy =
, проходящей через заданную точку
(
)
00
y,x
и имеющей данный
угловой коэффициент
α
=
′
tgy
0
касательной в этой точке.
Краевая задача
. Задача интегрирования уравнения (1.8) называется
краевой, если значения искомой функции
(
)
xy
и, возможно, ее производ-
ных задаются не при одном и том же значении независимой переменной, а
на концах некоторого фиксированного интервала. В некоторых случаях
значения искомой функции или ее производных могут задаваться более
чем в двух точках.
Задача Коши иногда называется одноточечной
, краевые задачи –
двухточечными
(иногда, многоточечными).
Краевая задача не всегда имеет решение, а если она его и имеет, то во
многих случаях оно не является единственным. Ниже мы подробнее по-
знакомимся с указанным понятием на примерах.
В некоторых случаях путем надлежащей замены переменных удается
понизить порядок дифференциального уравнения
, т.е. уравнение второго
порядка решается последовательным рассмотрением двух уравнений пер-
вого порядка.
Рассмотрим три типа таких уравнений.
1) Уравнения вида
(
)
xfy
=
′
, содержащие только производную
и независимую переменную, решаются путем последовательного интег-
рирования:
(
)
1
Cdxxfy +=
′
∫
,
(
)
(
)
21
CdxCdxxfy ++=
∫∫
.
2) Уравнения вида
(
)
0
=
′
y,y,xF
, не содержащие искомой
функции
y
, допускают понижение порядка с помощью подстановки
(
)
xzy =
′
,
(
)
xzy
′
=
′
′
.
При этом получаем два последовательно решаемых дифференциаль-
ных уравнения первого порядка:
(
)
0
=
′
′
′
y,y,xF
⇔
()
⎩
⎨
⎧
=
′
=
′
.z,z,xF
,zy
0

Страницы