ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
11
Замечание 1. Для определенности считаем, что выражения, стоящие
под знаком логарифма, положительны, поэтому не записываем соответст-
вующий знак модуля.
Замечание 2.
Здесь и в дальнейшем используются следующие свой-
ства логарифмов:
abba lnlnln =+ ;
b
a
ba lnlnln =−
;
k
aak lnln =
;
m
ezmz =⇔=ln
; 01ln = ; 1ln =e .
1.2.5. Найти общее решение уравнения
0cos
2
=+−
′
x
y
xyyx
.
Решение. Непосредственное разделение переменных в данном случае
невозможно, но выражение
x
y
2
cos
наводит на мысль об однородном
уравнении вида (1.5). Действительно, поделив обе части на
x
, получим:
0cos
2
=+−
′
x
y
x
y
y
.
Далее сделаем подстановку
x
y
t =
, xtty
′
+=
′
:
0cos
2
=+−
′
⋅+ tttxt
или
0cos
2
=+
′
⋅ ttx
.
Теперь решаем полученное уравнение с разделяющимися перемен-
ными
t
dx
dt
x
2
cos−=
;
x
dx
t
dt
=−
2
cos
.
Интегрируем:
Cxt lnlntg +=− или 0tgln =+ tCx .
В результате обратной подстановки приходим к общему решению в
неявном виде:
0tgln =+
x
y
Cx
.
1.2.6. Решить уравнение
x
e
x
y
y 2
2
=−
′
.
Решение. Данное уравнение является линейным (см. соответствую-
щие характерные признаки).
Сделав подстановку Бернулли
vuy ⋅=
, vuvuy
′
+
′
=
′
, получим:
x
e
x
uv
vuvu 2
2
=−
′
+
′
;
x
e
x
v
vuvu 2
2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
′
+
′
.
Полагаем
0
2
=−
′
x
v
v
, тогда
x
evu 2=
′
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- …
- следующая ›
- последняя »
