Дифференциальные уравнения. Тестовые задания - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

13
1.2.8. Решить уравнение
(
)
0sin
2
=+− dyyyxdxy
.
Решение. Данное уравнение линейно относительно функции
(
)
yxx
=
,
где
y
- аргумент. Действительно:
0sin
2
=−−⋅ yyx
dy
dx
y
,
yyx
ydy
dx
sin
1
=−
,
yyx
y
x sin
1
=−
′
.
Делаем подстановку Бернулли:
vuvux,uvx
′
+
′
=
′
= .
Тогда получим уравнение:
yy
y
v
vuvu sin=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
′
+
′
.
Далее получаем два уравнения с разделяющимися переменными.
1)
0=−
′
y
v
v
,
y
v
dy
dv
=
,
y
dy
v
dv
=
,
yv lnln = ,
yv
=
.
2)
yyvu sin=
′
.
Выбрав
y
v
=
, получим
yyy
dy
du
sin=⋅
,
dyydu sin= ,
Cyu
+
−
=
cos
.
Общее решение уравнения:
yyCyy cos
−
=
.
1.2.9. Найти общее решение уравнения
xy
x
26
3
sin −=
′′
−
.
Решение. Имеем уравнение второго порядка, которое содержит толь-
ко вторую производную искомой функции и ее аргумент. Выразим явно
вторую производную:
62
3
sin −+=
′′
x
x
y
.
Интегрируем:
∫
+−+−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+=
′
1
2
6
3
cos362
3
sin Cxx
x
dxx
x
y
.
Для того чтобы найти функцию
()
xy
, проинтегрируем еще раз:
.CxCx
xx
y;dxCxx
x
y
∫
++−+−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−+−=
21
2
3
1
2
3
33
sin96
3
cos3
1.2.10. Найти общее решение уравнения второго порядка
x
y
yyx
′
′
=
′′
ln
.
Решение. Данное уравнение не содержит явно функции
y
, поэтому
сделаем подстановку
(
)()
xzy,xzy
′
=
′′
=
. Получим однородное уравне-

Страницы