ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
15
Постоянную
1
C
можно найти уже на этом этапе, если использовать
начальные условия:
() ()
90
3
1
0 =
′
= y,y
⇒
1
2
819 C+=
⇒
0
1
=
C
.
Остается решить уравнение
()
2
2
9
y
y =
′
или
y
y
3
=
′
(при извлечении корня взят знак плюс, так как в точке
0
=
x , а значит и в
некоторой ее окрестности, значения
y
и y
′
имеют одинаковый знак).
Разделяя переменные, имеем:
dxdyy 3= ,
2
2
6 Cxy +=
.
Значение
2
C
находим из условия
()
3
1
0 =y
:
2
0
9
1
C+=
,
9
1
2
=C
.
Следовательно,
9
1
6
2
+= xy
или
3
154
+
=
x
y
.
1.2.12.
Найти решение уравнения 0=+
′′
yy , удовлетворяющее усло-
виям:
()
1
2
00 =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
= y,y
.
Решение. В данном случае имеем так называемую краевую задачу.
Прежде всего, найдем общее решение дифференциального уравнения.
Так как в уравнении отсутствует аргумент
x
, то сделаем подстановку
третьего типа:
(
)
ypy
=
′
,
dy
dp
py ⋅=
′′
Далее решим уравнение с разделяющимися переменными:
0=+⋅ y
dy
dp
p
,
dyydpp
⋅
−
=
⋅
,
222
1
22
C
yp
+−=
,
2
1
yCp −= .
Возвращаемся к
y
′
, получаем уравнение:
2
1
yCy −=
′
.
Решаем его:
dx
yC
dy
=
−
2
1
,
∫
+=
−
2
2
1
Cx
yC
dy
.
Интеграл в левой части равенства найдем с помощью замены пере-
менной
zCy sin
1
⋅= :
.const
C
y
yC
dy
+=
−
∫
1
2
1
arcsin
Итак, общее решение заданного уравнения:
2
1
arcsin Cx
C
y
+=
или
(
)
21
sin CxCy += .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- …
- следующая ›
- последняя »
