Дифференциальные уравнения. Тестовые задания - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

59
Примеры математических моделей процессов выравнивания можно
найти в физике, экономике ("модель равновесия"), химии и др.
Рассмотрим теперь
задачу о нагревании (остывании) тела.
Речь в ней идет о выяснении характера зависимости
)(= tTT
температуры
T
остывающего тела от времени
t
течения процесса, если
скорость остывания пропорциональна разности между температурой тела
и температурой
1
T
окружающей среды (закон Ньютона); начальная
температура
0
T
тела задана.
Имеем, очевидно, задачу вида:
0=(0) )(=
01
>
=
−
−
′
k,constk,TT,TTkT
. (3.2)
Здесь k - коэффициент пропорциональности (определяется экспери-
ментально), зависящий как от физических свойств тела, так и от его гео-
метрической формы.
Решение задачи (3.2) будет иметь вид:
.)(=
101
kt
eTTTT
−
−+
С течением времени происходит выравнивание температуры: она
приближается к значению
1
T
температуры окружающей среды.
Задача 2.
Вода в открытом резервуаре имела начальную температу-
ру
С
o
70 , через 10 минут температура повысилась до С
o
65 , а температура
окружающей резервуар среды равна
С
o
15 . Найти температуру воды в ре-
зервуаре через 30 минут от начала наблюдений. Определить, в какой мо-
мент времени температура воды будет составлять
С
o
20 ?
Решение. Как было показано выше, необходимо решить уравнение
вида (3.2):
)15(=
о
−−
′
TkT
или
(
)
o
15−−= Tk
dt
dT
.
Разделяя переменные и интегрируя, получим
∫∫
=
−
dtk
T
dT
o
15
;
(
)
CtkT ln15ln +=−
o
;
откуда
1
15 CeeeеТ
tkCtkCtk
===−
+o
;
o
15
1
+=
tk
eCТ
.
Найдем постоянную величину
1
С
при начальных условиях
0
=
t
,
o
70=T
:
oo
1570
0
1
+=
⋅k
eС
или
oo
55155
111
0
1
==⋅== C,CCeС .
Получили закон охлаждения воды
oo
1555 +=
tk
eТ
, (3.3)
где
t
– время,
T
– температура воды.

Страницы