Дифференциальные уравнения. Тестовые задания - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

57
Глава 3.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ СРЕДСТВАМИ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
3.1 Дифференциальные уравнения первого и второго порядка
как математические модели. Задачи для активного обучения
В различных областях человеческой деятельности возникает большое
число задач, которые сводятся к решению дифференциальных уравнений.
Характер этих задач и методику их решения можно схематически описать
примерно так. Происходит некоторый процесс, наприме физический,
химический, биологический. Нас интересует определенная
функциональная характеристика этого процесса, например закон
изменения со временем температуры или давления, массы, положения
в
пространстве. Если имеется достаточно полная информация о течении
этого процесса, то можно попытаться построить его математическую
модель. Во многих случаях такой моделью служит дифференциальное
уравнение, одним из решений которого является искомая функциональная
характеристика процесса.
Дифференциальное уравнение моделирует процесс в том смысле, что
оно описывает эволюцию процесса, характер происходящих с
материальной системой изменений, возможные варианты этих изменений
в зависимости от первоначального состояния системы.
3.1.1 Математическая модель рекламы
Задача 1. Определить закон, по которому распространяются сведения
о распродаже некоторой продукции, если скорость распространения
информации (по свидетельству статистики) пропорциональна как числу
знающих о распродаже, так и числу незнающих потенциальных
покупателей, в сумме составляющих
N человек.
Решение. Обозначим через
)(ty функцию, значения которой
совпадают с числом потенциальных покупателей, узнавших к моменту
времени о расподаже. Тогда указанная в условии пропорциональность
может быть реализована в виде
)),(()(=)( tyNtkyty −⋅
′
(3.1)
где коэффициент пропорциональности
k можно считать известным
(он определяется экспериментально и зависит от интенсивности рекламы и
др. факторов).
Найдем общее решение данного уравнения с разделяющимися
переменными:

Страницы