Дифференциальные уравнения. Тестовые задания - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

58
()
yNky
dt
dy
−⋅=
;
()
dtk
yNy
dy
⋅=
−⋅
;
()
∫∫
=
−
dtk
yNy
dy
;
∫
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
+ constktdy
yNyN
111
;
tkN
N-y
yC
⋅=ln ;
tkN
e
yN
Cy
⋅
=
−
;
tkN
tkN
eC
eN
y
⋅
⋅
+
=
.
Поделив на
tkN
e
⋅
числитель и знаменатель последней дроби,
получим общее решение уравнения (3.1):
.
1
=)(
kNt
Ce
N
ty
−
+
В частности, если в начальный момент о распродаже уже знали
половина покупателей, т.е. задано начальное условие
/2=(0) Ny
, то
kNt
e
N
ty
−
+1
=)(
- закон, по которому будут распространяться сведения о
распродаже.
3.1.2 Математические модели процессов выравнивания
Математическими моделями многих процессов, в которых скорость
изменения величины можно считать пропорциональной значению
y
этой
величины, служат уравнения вида:
yky ⋅
′
= .
Вместе с тем встречаются процессы, в которых скорость
пропорциональна (с коэффициентом k
−
, где 0>k ) разности между
значением величины
y
и некоторым постоянным значением
a
.
В общем случае, при заданном начальном значении
0
y
величины
y
имеем задачу:
⎩
⎨
⎧
−⋅−
′
.=(0)
)(=
0
yy
ayky
Решение этой задачи Коши для дифференциального уравнения
первого порядка с разделяющимися переменными имеет вид:
.)(=
0
kt
eayay
−
−+
С неограниченным ростом времени наблюдения (т.е. при
+∞→t
)
значения функции
kt
e
−
стремятся к нулю , тогда значения )(= tyy
приближаются к
a
.
Говорят, что происходит стабилизация этих значений, а сам процесс
называют процессом выравнивания
.

Страницы