Дифференциальные уравнения. Тестовые задания - 63 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

63
В общем случае сила
F
зависит от трех переменных: времени
t
,
величин
y
и y
′
:
),;(= yytFym
′
′′
(3.6)
Таким образом, получаем дифференциальное уравнение второго
порядка, служащее математической моделью движения, описываемого
вторым законом Ньютона.
Рассмотрим несколько частных случаев (3.6).
1)
Случай, когда
constFF =
0
=
.
Записав (3.6) в виде
,=
0
Fym
′′
имеем дифференциальное
уравнение второго порядка, которое решается последовательным
интегрированием:
=
′
∫
dt
m
F
y
0
= ,
1
0
Ct
m
F
+
dtCt
m
F
y
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
∫
1
0
=
, у
.
2
21
2
0
CtCt
m
F
++=
2) В случае, когда действующая сила обратна пропорциональна
времени
t
, протекшему с начала движения (коэффициент
пропорциональности k задан), рассмотрим временной отрезок
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∈
1
2
1
;t
.
При этом в момент 1=t скорость тела 0=v и пройденное расстояние
2=y
. Получаем задачу Коши:
0.=(1) 2,=(1) ,=
2
yy
t
k
ym
′′′
Решаем ее, последовательно интегрируя:
2
=)(
−
′′
t
m
k
y
;
1
1
= Ct
m
k
y +−
′
−
Значение постоянной
1
C
можно определить на основании начального
условия
0=(1)y
′
:
1
=0 C
m
k
+−
, откуда
m
k
C =
1
.
Тогда
).(1=
1−
−
′
t
m
k
y
Полученное уравнение первого порядка есть снова задача
интегрирования, решая которую получаем класс функций
2
)ln(= Ctt
m
k
y +−
.
Согласно начальному условию
2=(1)y , находим
m
k
C −2=
2
.
Искомый закон движения тогда имеет вид

Страницы