Дифференциальные уравнения. Тестовые задания - 65 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

65
Определить закон движения )(= tyy , если положение точки в
начальный момент и при
1=t заданы: 0=(1) 0,=(0) yy . Решить задачу в
случае следующих значений коэффициентов пропорциональности:
mkmk 2= ,=
21
. Определить приближенно значение
y
в момент 5=t .
Решение. Если подставить значения
1
k
и
2
k
в уравнение и поделить
обе его части на
m
, то приходим к следующей краевой задаче:
0.=(1)0,=(0)2= yy,eyy
t−
+
′′
Найдем сначала общее решение соответствующего однородного
уравнения:
0=yy +
′′
;
01
2
=+λ
;
i
,
±=λ
21
;
.sincos=
21o
tCtCy
+
Частное решение неоднородного уравнения имеет следующую
структуру:
constA,Aey
t
=
−
=
ч
.
Применяя метод неопределенных коэффициентов для нахождения
A
,
получаем
t
ey
−
=
ч
(убедитесь самостоятельно!)
Общее решение неоднородного уравнения принимает вид
.etCtCy
t−
++ sincos=
21н
Воспользуемся краевыми условиями, подставив в общее решение
одновременно
0=t и
0=y
, а затем 1=t и
0=y
. Имеем систему двух
линейных уравнений относительно
1
C
и
2
C
:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
++
++
−
.eCC
,eCC
0=1sin1cos
0=0sin0cos
1
21
0
21
⇔
()
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
⋅−=
−=
−
.eC
,C
1
2
1
1sin1ctg
1
Подставляя найденные значения
1
C
и
2
C
в запись общего решения,
получаем искомый закон движения
.sin1)sin1ctg(cos=
11 t
etety
−−−
+⋅−+−
В частности, в момент
5=t
4705sin1)sin1ctg(5cos=(5)
511
,eey −≈+⋅−+−
−−−
С точки зрения физики, отрицательное значение
(5)y означает, что
точка отклонилась от положения равновесия в сторону, противоположную
положению, занимаемую ею в начальный момент.
3.1.6 Математическое моделирование некоторых задач химии,
динамики, сопротивления материалов и радиотехники.
Задача 7. В результате химической реакции между веществами
A
и
B
образуется вещество C . Установить зависимость количества вещества
C от времени, если в момент вступления в реакцию количества веществ

Страницы