Дифференциальные уравнения. Тестовые задания - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

67
Решение. Уравнение (3.7) – это уравнение второго порядка, которое
допускает понижение порядка. Решим его, последовательно (дважды) ин-
тегрируя:
()
21
43
2412
CxCx
E
I
q
x
E
I
lq
x ++−=ω
.
Первое краевое условие дает значение
0
2
=C
, второе – значение
EI
lq
C
24
3
1
−=
. Искомое решение краевой задачи есть
()
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅−=ω
32
3
21
24 l
x
l
x
EI
xlq
x .
Задача 9. В последовательном контуре наблюдаются свободные ко-
лебания, если отсутствует внешний источник, и конденсатор был заряжен
к моменту замыкания ключа
S . После замыкания ключа S в момент вре-
мени
0=t конденсатор разряжается через цепь с коэффициентом самоин-
дукции
L
и сопротивлением
R
(см. рисунок 2). Определить напряжение
c
u
на обкладках конденсатора, если в началь-
ный момент времени
()
0
0 Uu
c
=
,
(
)
00
=
′
c
u
.
Решение.
На основании законов Кирхгофа имеем:
dt
du
Ci
c
−=
,
dt
di
LiRu
c
⋅+⋅=
.
Таким образом, получаем дифференциальное уравнение, описываю-
щее процессы в цепи:
02
2
0
2
2
=ω+α+
c
cc
u
dt
du
dt
ud
, (3.8)
где
L
R
2
=α
- коэффициент затухания,
CL
1
2
0
=ω
- частота собствен-
ных колебаний.
Уравнение (3.8) – это линейное однородное дифференциальное урав-
нение с постоянными коэффициентами. Поскольку в задании даны еще
начальные условия, то мы имеем задачу Коши.
Характеристическое уравнение, соответствующее (3.8):
02
2
0
2
=ω+λα+λ
.
Рассмотрим три случая для корней характеристического уравнения:

Страницы