Дифференциальные уравнения. Тестовые задания - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

66
A
и
B
были равны соответственно
a
и b . Скорость реакции пропор-
циональна произведению реагирующих масс.
Решение. Пусть
(
)
txx
=
- количество вещества C через время t по-
сле начала реакции;
dt
dx
- скорость образования вещества (скорость реак-
ции). По условию
()()
xbxak
dt
dx
−−=
, где 0>k - коэффициент пропор-
циональности. Разделяем переменные и решаем уравнение:
()()
dtk
xbxa
dx
=
−−
;
()
dtabk
bx
dx
ax
dx
−−=
−
−
−
;
()
tabk
eC
bx
ax
−−
=
−
−
.
Из начального условия
(
)
00
=
x
находим
b
a
C =
, тогда
()
tabk
e
b
a
bx
ax
−−
=
−
−
.
Выразим из этого равенства
x
, получим:
()
()
()
tabk
tabk
aeb
e
abtx
−−
−−
−
−
=
1
.
Если
ab > , то
(
)
atx →
при
∞
→t ; если ab
<
, то
()
btx →
при
→t
.
Если количества веществ
A
и
B
равны, т.е. ba
=
, то уравнение ре-
акции примет вид:
()
2
xak
dt
dx
−=
.
С учетом начального условия процесс реакции описывается зависи-
мостью:
()
akt
kta
tx
+
=
1
2
(проверьте самостоятельно!).
Таким образом,
(
)
atx →
при
→t
.
Задача 8. В сопротивлении материалов доказывается, что дифферен-
циальное уравнение изогнутой оси простой балки постоянного сечения,
несущей сплошную равномерно распределенную нагрузку интенсивно-
стью
q
, имеет вид
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
ω
2
2
2
22
1
x
q
x
lq
EI
dx
d
, (3.7)
где
ω
- прогиб балки в сечении с абсциссой
x
;
EI
- постоянная
величина, так называемая "жесткость на изгиб сечения балки"; l - длина
балки.
Найти решение этого уравнения, удовлетворяющее краевым (гранич-
ным) условиям
(
)
(
)
000
=
ω
=
ω
l,
, т. е. в том случае, когда на концах бал-
ки прогиб равен нулю.

Страницы