ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
12
Решение исходного уравнения сводится к последовательному реше-
нию двух уравнений с разделяющимися переменными.
1. Функцию
(
)
xvv =
найдём из первого уравнения
0
2
=−
′
x
v
v
:
0
2
=−
x
v
dx
dv
,
x
dx
v
dv
2
=
,
∫ ∫
−
= dxx
v
dv
2
1
2
1
,
2
1
ln xv =
,
x
ev =
(выбрана одна из первообразных
(
)
xvv =
).
2. Подставим
x
ev =
во второе уравнение
x
evu 2=
′
.
Решив его, найдём общее решение
(
)
Сxuu ,=
:
xx
ee
dx
du
2=
,
dxdu 2=
,
∫ ∫
= dxdu 2
,
Cxu
+
=
2
.
Поскольку
uv
y
=
, то общее решение линейного уравнения
запишется в виде
( )
x
eCxy += 2
.
1.2.7. Найти решение задачи Коши
( )
.11,
2
−=−=
′
yy
x
y
y
Решение. Данное уравнение является уравнением Бернулли с
2
=
n
:
2
1
yy
x
y −=−
′
. Полагаем
uv
y
=
, тогда
22
vu
x
v
vuvu −=
−
′
+
′
.
Решаем последовательно два уравнения.
1. Из уравнения
0
=−
′
x
v
v
, находим функцию
(
)
xv
:
0
=−
x
v
dx
dv
,
x
dx
v
dv
=
,
∫ ∫
=
x
dx
v
dv
,
xv
lnln
=
,
x
v
=
.
2. Подставляем
x
v
=
во второе уравнение
22
vuvu −=
′
:
22
uxx
dx
du
−=
,
dxxduu −=
−2
,
C
x
u
+−=−
2
1
2
,
C
x
u
2
2
2
−
=
.
Так как
uv
y
=
, то общее решение уравнения Бернулли:
C
x
x
y
2
2
2
−
=
.
Используем начальные условия
1,1
−
=
=
yx
, для нахождения соот-
ветствующего значения константы
C
:
C
21
2
1
−
=−
,
2
3
=C
.
Итак, решение задачи Коши имеет вид:
3
2
2
−
=
x
x
y
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- …
- следующая ›
- последняя »
