ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
10
Таким образом, мы разделили переменные. Интегрируем теперь обе
части уравнения:
∫∫
=
+
dx
x
x
y
dy ln
4
2
,
( )
∫ ∫
=
+
xdx
y
dy
lnln
2
22
,
C
xy
2
1
2
ln
2
arctg
2
1
2
+=
.
Итак, получено общее решение уравнения в неявном виде:
Cx
y
+=
2
ln
2
arctg
.
1.2.4. Решить задачу Коши:
( )
(
)
( )
.
2
1
0,012
2
==+−+ ydyxdxxxy
Решение. Перепишем уравнение в виде
(
)
(
)
dyxdxyx 112
2
+=+
и раз-
делим переменные. Поделив обе части уравнения на произведение
(
)
(
)
112
2
++ xy
, получим:
12
1
2
+
=
+
y
dy
dx
x
x
.
Интегрируем:
∫∫
+
=
+
12
1
2
y
dy
dx
x
x
;
(
)
(
)
∫∫
+
+
=
+
+
12
12
2
1
1
1
2
1
2
2
y
yd
x
xd
,
откуда
(
)
(
)
Cyx ln12ln1ln
2
++=+
.
Упростим теперь решение, используя свойства логарифмов:
(
)
(
)
12ln1ln
2
+=+ yCx
.
Итак, общее решение уравнения принимает вид
(
)
121
2
+=+ yCx
.
Теперь найдём значение постоянной C, при котором будет выполне-
но указанное начальное условие.
Подставляя
2
1
,0 == yx
в общее решение, получим:
+⋅=+ 1
2
1
210 С
,
2
1
=
С
.
Таким образом, имеем решение задачи Коши:
2
1
1
2
+=+ yx
или, в явном виде,
2
1
2
+= xy
.
Замечание 1. Для определённости считаем, что выражения, стоящие
под знаком логарифма, положительны, поэтому не записываем соответст-
вующий знак модуля.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
