Дифференциальные уравнения. Тестовые задания. Куликов Г.М - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

9
3. Уравнения вида
(
)
0,, =
′
′
′
yyxF
, явно не содержащие переменную x,
допускают понижение порядка путём подстановки
(
)
ypy =
′
,
pp
dy
dp
py
′
==
′′
.
При этом получаем два следующих последовательно решаемых
уравнения первого порядка:
(
)
0,, =
′
′
′
yyyF
⇔
(
)
( )
=
′
=
′
.0;;
,
ppyF
ypy
Формальное отсутствие аргумента x позволяет рассматривать функ-
цию p как функцию аргумента y.
1.2. ЗАДАЧИ ДЛЯ АКТИВНОГО ОБУЧЕНИЯ
1.2.1. Составить дифференциальное уравнение по заданному семей-
ству интегральных кривых
3
Cxy =
.
Решение. Продифференцируем по x равенство
3
Cxy =
, получим
2
3 xCy =
′
. Кроме того, очевидно,
3
x
y
C =
. Поэтому искомое дифференци-
альное уравнение принимает вид:
yyx
3
=
′
.
1.2.2. Зная, что
xCy ln
=
является общим решение уравнения
yxyx =
′
ln
, найти интегральную кривую, проходящую через точку
(
)
1,
eM
.
Решение. В данном случае необходимо найти решение задачи Коши
с начальным условием
(
)
1
=ey
:
(
)
1ln
== eCey
, откуда
1
C
. Искомая
интегральная кривая задаётся теперь уравнением
xy
ln
=
.
1.2.3. Найти общее решение уравнения
(
)
xyyx ln4
2
+=
′
.
Решение. Имеем уравнение с разделяющимися переменными:
(
)
xy
dx
dy
x ln4
2
+=
.
Умножим обе части уравнения на dx:
(
)
xdxyxdy ln4
2
+=
.
Далее обе части уравнения поделим на выражение
(
)
2
4 yx +
, которое,
очевидно, в данном уравнении не может обратиться в ноль:
dx
x
x
y
dy ln
4
2
=
+
.

Страницы