ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
7
Характерный признак таких уравнений – функция y и её производная y′
содержатся в уравнении в первой степени.
Уравнение Бернулли имеет вид
(
)
(
)
n
yxqyxpy =+
′
,
1,0
≠
≠
nn
. (1.7)
Существует несколько методов решения уравнений данных видов:
метод вариации произвольных постоянных, метод интегрирующего мно-
жителя, метод Бернулли.
Рассмотрим метод Бернулли. При этом решение каждого из уравне-
ний (1.6), (1.7) будем искать в виде
uv
y
=
,
где
(
)
(
)
xvvxuu == ,
– неизвестные функции.
По правилу дифференцирования произведения получим
vuvuy
′
+
′
=
′
(аргумент «x» в дальнейшем опускаем).
В этом случае линейное уравнение (1.6), например, записывается
следующим образом
(
)
qpvvuvu =+
′
+
′
.
Множитель
(
)
xvv =
можно выбрать как некоторое решение уравне-
ния
0=+
′
pvv
.
Тогда исходное уравнение оказывается эквивалентным уравнению с
разделяющимися переменными
qvu =
′
, общее решение которого есть
некоторая
(
)
Cxuu ,=
.
Окончательно общий интеграл линейного дифференциального урав-
нения примет вид
(
)
(
)
Cxuxvy ,=
.
Таким образом, в процессе решения приходится дважды решать
уравнения с разделяющимися переменными.
По той же схеме решается и уравнение Бернулли.
1.1.5. Дифференциальные уравнения второго порядка,
допускающие понижение порядка
Уравнение вида
(
)
yyxfy
′
=
′
′
,,
, (1.8)
связывающее между собой независимую переменную x, неизвестную
функцию
(
)
xy
и её производные
(
)
(
)
xyxy
′
′
′
,
, называется дифференци-
альным уравнением второго порядка (разрешённым относительно второй
производной).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »
