ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
6
Замечания.
1. Характерный признак дифференциальных уравнений с разде-
ляющимися переменными – это наличие произведений (или частных)
«блоков», зависящих только от «х» или только от «у».
2. Если обе части уравнения делим на переменную величину, то не-
обходимо отдельно рассмотреть также случай, когда она обращается в
ноль. Так, постоянные
0
уу =
, для которых
(
)
0
0
=yg
, являются, очевид-
но, решениями уравнения (1.4).
3. Произвольная постоянная, возникающая при интегрировании,
может быть записана в виде kC или klnC, где k – любой постоянный
(ненулевой) множитель. В некоторых случаях такая запись удобна для
упрощения ответа.
1.1.3. Однородные уравнения
Если уравнения
(
)
yxfy ,=
′
или
(
)
(
)
0,, =+ dyyxQdxyxP
не из-
меняются при одновременной замене «x» на «kx» и «y» на «ky», то они
называются однородными.
Однородное уравнение может быть приведено к виду
=
′
x
y
fy
. (1.5)
Однородное дифференциальное уравнение преобразуется в уравне-
ние с разделяющимися переменными с помощью подстановки
x
y
t =
(откуда
xtty
′
+=
′
),
где
(
)
xtt =
– новая неизвестная функция.
После того как новое уравнение будет проинтегрировано, следует
сделать обратную замену переменных – вместо t подставить
x
y
.
1.1.4. Линейные уравнения первого порядка.
Уравнение Бернулли
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называ-
ется уравнение вида
(
)
(
)
xqyxpy =+
′
, (1.6)
где
(
)
(
)
xqxp
,
– непрерывные (на данном интервале) функции.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- …
- следующая ›
- последняя »
