ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
5
Класс (1.3) называется общим решением дифференциального уравне-
ния; ниже мы уточним, что будем понимать под общим решением диффе-
ренциального уравнения первого порядка.
В некоторых случаях общее решение дифференциального уравнения
определяется в неявном виде:
(
)
0,, =Φ Cyx
.
Геометрически общее решение представляет собой семейство инте-
гральных кривых на плоскости
xOy
.
При каждом конкретном значении
0
СС =
получают частное реше-
ние
(
)
0
,Cxyy =
.
Задача о нахождении решения дифференциального уравнения (1.2),
удовлетворяющего начальному условию
(
)
00
yxy =
, называется задачей
Коши.
Геометрически, такая задача предполагает поиск интегральной кри-
вой, которая проходит через заданную точку с координатами
(
)
00
, yx
.
Решение дифференциального уравнения, которое не может быть по-
лучено из общего решения ни при одном частном значении произвольной
постоянной (включая «предельные» случаи
±∞
=
C
), называется его осо-
бым решением.
При интегрировании дифференциального уравнения надо стремиться
к тому, чтобы наряду с общим решением были найдены также и особые
решения.
Среди всех дифференциальных уравнений особый интерес представ-
ляют некоторые классы уравнений, для которых существуют стандартные
способы аналитического решения. Ниже будут рассмотрены важнейшие
из них.
1.1.2. Дифференциальные уравнения
с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение вида
(
)
(
)
ygxfy =
′
(1.4)
называется уравнением с разделяющимися переменными.
Разделим переменные, учитывая, что
( )
dx
dy
xy =
′
.
При этом уравнение (1.4) преобразуется к виду
( )
( )
dxxf
yg
dy
=
.
Интегрируя, получим общее решение:
( )
( )
Cdxxf
yg
dy
=−
∫ ∫
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- …
- следующая ›
- последняя »
