Дифференциальные уравнения. Тестовые задания. Куликов Г.М - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

8
Общим решением уравнения (1.8) называется функция
(
)
21
,, CCxyy =
, зависящая от двух произвольных постоянных C
1
и C
2
,
которая при любых значениях C
1
, C
2
является решением (1.8) .
Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка со-
стоит в следующем: найти решение уравнения (1.8), удовлетворяющее
заданным начальным условиям
(
)
(
)
0000
, yxyyxy
′
=
′
=
.
Геометрически, имеем задачу нахождения интегральной кривой
(
)
xyy =
, проходящей через заданную точку
(
)
00
, yx
и имеющей данный
угловой коэффициент
α=
′
tg
0
y
касательной в этой точке.
Краевая задача. Задача интегрирования уравнения (1.8) называется
краевой, если значения искомой функции
(
)
xy
и, возможно, её производ-
ных задаются не при одном и том же значении независимой переменной, а
на концах некоторого фиксированного интервала. В некоторых случаях
значения искомой функции или её производных могут задаваться более
чем в двух точках.
Задача Коши иногда называется одноточечной, краевые задачи –
двухточечными (иногда, многоточечными).
Краевая задача не всегда имеет решение, а если она его и имеет, то
во многих случаях оно не является единственным. Ниже мы подробнее
познакомимся с указанным понятием на примерах.
В некоторых случаях путём надлежащей замены переменных удаётся
понизить порядок дифференциального уравнения, т.е. уравнение второго
порядка решается последовательным рассмотрением двух уравнений пер-
вого порядка.
Рассмотрим три типа таких уравнений.
1. Уравнения вида
(
)
xfy =
′
′
, содержащие только производную и не-
зависимую переменную, решаются путём последовательного интегрирования:
(
)
1
Cdxxfy +=
′
∫
,
(
)
(
)
21
CdxCdxxfy ++=
∫ ∫
.
2. Уравнения вида
(
)
0,, =
′
′
′
yyxF
, не содержащие искомой функ-
ции y, допускают понижение порядка с помощью подстановки
(
)
xzy =
′
,
(
)
xzy
′
=
′
′
.
При этом получаем два последовательно решаемых дифференциаль-
ных уравнения первого порядка:
(
)
0,, =
′
′
′
yyxF
⇔
( )
=
′
=
′
.0,,
,
zzxF
zy

Страницы