Дифференциальные уравнения. Тестовые задания. Куликов Г.М - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

13
1.2.8. Решить уравнение
(
)
0sin
2
=+− dyyyxdxy
.
Решение. Данное уравнение линейно относительно функции
(
)
yxx =
,
где y – аргумент. Действительно:
0sin
2
=−− yyx
dy
dx
y
,
yyx
ydy
dx
sin
1
=−
,
yyx
y
x sin
1
=−
′
.
Делаем подстановку Бернулли:
vuvuxuvx
′
+
′
=
′
= ,
.
Тогда получим уравнение:
yy
y
v
vuvu sin=
−
′
+
′
.
Далее получаем два уравнения с разделяющимися переменными.
1.
0=−
′
y
v
v
,
y
v
dy
dv
=
,
y
dy
v
dv
=
,
yv lnln =
,
y
v
=
.
2.
yyvu sin=
′
.
Выбрав
y
v
=
, получим
yyy
dy
du
sin=
,
dyydu sin=
,
Cyu
+
−
=
cos
.
Общее решение уравнения:
yyCyy cos
−
=
.
1.2.9. Найти общее решение уравнения
xy
x
26
3
sin −=
′′
−
.
Решение. Имеем уравнение второго порядка, которое содержит толь-
ко вторую производную искомой функции и её аргумент. Выразим явно
вторую производную:
62
3
sin −+=
′′
x
x
y
.
Интегрируем:
∫
+−+−=
−+=
′
1
2
6
3
cos362
3
sin Cxx
x
dxx
x
y
.
Для того чтобы найти функцию
(
)
xy
, проинтегрируем ещё раз:
.3
33
sin9;6
3
cos3
21
2
3
1
2
∫
++−+−=
+−+−= CxCx
xx
ydxCxx
x
y
1.2.10. Найти общее решение уравнения второго порядка
x
y
yyx
′
′
=
′′
ln
.

Страницы