ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
15
Остаётся решить уравнение
( )
2
2
9
y
y =
′
или
y
y
3
=
′
(при извлечении
корня взят знак «плюс», так как в точке
0
=
x
, а значит и в некоторой её
окрестности, значения y и
y
′
имеют одинаковый знак).
Разделяя переменные, имеем:
dxdyy 3
=
,
2
2
6 Cxy +=
.
Значение
2
C
находим из условия
( )
3
1
0 =y
:
2
0
9
1
C+=
,
9
1
2
=C
.
Следовательно,
9
1
6
2
+= xy
или
3
154 +
=
x
y
.
1.2.12. Найти решение уравнения
0=+
′
′
yy
, удовлетворяющее усло-
виям:
( )
1
2
,00 =
π
= yy
.
Решение. В данном случае имеем так называемую краевую задачу.
Прежде всего найдём общее решение дифференциального уравнения.
Так как в уравнении отсутствует аргумент x, то сделаем подстановку
третьего типа:
(
)
ypy =
′
,
dy
dp
py =
′′
.
Далее решим уравнение с разделяющимися переменными:
0=+ y
dy
dp
p
,
ydypdp −=
,
2
2
2
1
22
C
yp
+−=
,
2
1
yCp −=
.
Возвращаемся к
y
′
, получаем уравнение:
2
1
yCy −=
′
.
Решаем его:
dx
yC
dy
=
−
2
1
,
∫
+=
−
2
2
1
Cx
yC
dy
.
Интеграл в левой части равенства найдём с помощью замены пере-
менной
zCy sin
1
=
:
constarcsin
1
2
1
+=
−
∫
C
y
yC
dy
.
Итак, общее решение заданного уравнения:
2
1
arcsin Cx
C
y
+=
или
(
)
21
sin CxCy +=
.
Используем теперь краевые условия:
0,0
=
=
yx
и
1,
2
=
π
= yx
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- …
- следующая ›
- последняя »
