Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 4 стр.

UptoLike

Составители: 

4
ɦɟɧɧɨɣ, ɜ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹɯ ɫ ɱɚɫɬɧɵɦɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɦɢ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɡɚ-
ɜɢɫɢɬ ɨɬ ɧɟɫɤɨɥɶɤɢɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ, ɚ ɫɚɦɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɫɨɞɟɪɠɢɬ ɱɚɫɬɧɵɟ
ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɟ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ.
ɋɥɟɞɭɟɬ ɨɬɦɟɬɢɬɶ, ɱɬɨ ɧɚɪɹɞɭ ɫ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɦɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹɦɢ
ɞɥɹ ɨɩɢɫɚɧɢɹ ɮɢɡɢɱɟɫɤɢɯ ɹɜɥɟɧɢɣ ɢɫɩɨɥɶɡɭɸɬɫɹ ɢɧɬɟɝɪɚɥɶɧɵɟ ɢ ɢɧɬɟɝɪɨ-
ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ. Ɉɞɧɚɤɨ ɜ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɦɵ ɛɭɞɟɦ ɪɚɫɫɦɚɬ-
ɪɢɜɚɬɶ ɬɨɥɶɤɨ ɬɟ ɡɚɞɚɱɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɮɢɡɢɤɢ,
ɤɨɬɨɪɵɟ ɩɪɢɜɨɞɹɬ ɤ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹɦ ɫ ɱɚɫɬɧɵɦɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɦɢ.
ȼ ɨɛɳɟɦ ɫɥɭɱɚɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɫ ɱɚɫɬɧɵɦɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞ-
ɧɵɦɢ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ:
,0
1
1
1
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
ww
w
w
w
w
w
n
k
n
k
k
n
xx
u
,,
x
u
,,
x
u
u,x,F
"
!!
(1.1)
ɝɞɟ
n
n
R)x,,x(x
!
1
ɜɟɤɬɨɪ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ (ɡɞɟɫɶ
n
R
n-ɦɟɪɧɨɟ ɟɜɤɥɢɞɨɜɨ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨ),
)
x(uu
ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ, F
ɡɚɞɚɧɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɫɜɨɢɯ ɚɪɝɭɦɟɧɬɨɜ. Ɉɛɵɱɧɨ ɜɟɤɬɨɪ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɯ ɩɟɪɟ-
ɦɟɧɧɵɯ ɜ ɭɪɚɜɧɟɧɢɢ (1.1) ɢɡɦɟɧɹɟɬɫɹ ɧɚ ɧɟɤɨɬɨɪɨɦ ɨɬɤɪɵɬɨɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ
,
n
R
:
ɤɨɬɨɪɨɟ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɨɛɥɚɫɬɶɸ ɡɚɞɚɧɢɹ ɷɬɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ.
Ʉɥɚɫɫɢɱɟɫɤɢɦ (ɪɟɝɭɥɹɪɧɵɦ) ɪɟɲɟɧɢɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (1.1) ɧɚ ɨɬɤɪɵɬɨɦ
ɦɧɨɠɟɫɬɜɟ
:
:
0
ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɜɫɹɤɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ,
)
x
(u ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɚɹ ɢ
ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɚɹ ɜ
0
:
ɜɦɟɫɬɟ ɫɨ ɜɫɟɦɢ ɫɜɨɢɦɢ ɱɚɫɬɧɵɦɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɦɢ, ɜɯɨ-
ɞɹɳɢɦɢ ɜ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ (1.1), ɢ ɨɛɪɚɳɚɸɳɚɹ ɷɬɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɜ ɤɚɠɞɨɣ ɬɨɱɤɟ
0
:
x ɜ ɬɨɠɞɟɫɬɜɨ.
ɉɨɪɹɞɤɨɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɫ ɱɚɫɬɧɵɦɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɦɢ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɦɚɤɫɢ-
ɦɚɥɶɧɵɣ ɢɡ ɩɨɪɹɞɤɨɜ ɜɯɨɞɹɳɢɯ ɜ ɧɟɝɨ ɱɚɫɬɧɵɯ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ.
ɍɪɚɜɧɟɧɢɟ ɫ ɱɚɫɬɧɵɦɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɦɢ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɥɢɧɟɣɧɵɦ, ɟɫɥɢ ɨɧɨ
ɥɢɧɟɣɧɨ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɢ ɟɺ ɱɚɫɬɧɵɯ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ.
ɇɚɩɪɢɦɟɪ, ɥɢɧɟɣɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɫ ɱɚɫɬɧɵɦɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɦɢ ɜɬɨɪɨɝɨ ɩɨɪɹɞ-
ɤɚ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ:
,)x(fu)x(c
x
u
)x(b
xx
u
)x(a
i
n
i
i
ji
n
j,i
j,i
w
w
ww
w
¦¦
1
2
1
(1.2)
ɝɞɟ
,
j,i
a ,
i
b ɫ, fɡɚɞɚɧɧɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ. Ɏɭɧɤɰɢɢ ,
j,i
a ,
i
b ɫ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɤɨ-
ɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (1.2), ɚ ɮɭɧɤɰɢɹ fɫɜɨɛɨɞɧɵɦ ɱɥɟɧɨɦ (ɩɪɚɜɨɣ
ɱɚɫɬɶɸ). ȿɫɥɢ
,0
{
)
x(
f
ɬɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ (1.2) ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɨɞɧɨɪɨɞɧɵɦ, ɜ
ɩɪɨɬɢɜɧɨɦ ɫɥɭɱɚɟɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɵɦ.
ɍɪɚɜɧɟɧɢɟ ɫ ɱɚɫɬɧɵɦɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɦɢ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɤɜɚɡɢɥɢɧɟɣɧɵɦ, ɟɫ-
ɥɢ ɨɧɨ ɥɢɧɟɣɧɨ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɜɫɟɯ ɫɬɚɪɲɢɯ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ ɨɬ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɨɣ
ɮɭɧɤɰɢɢ. Ʉɜɚɡɢɥɢɧɟɣɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɜɬɨɪɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ:
������, � ���������� � �������� ������������ ����������� ������� ��-
����� �� ���������� ����������, � ���� ��������� �������� �������
����������� ����������� �������.
    ������� ��������, ��� ������ � ����������������� �����������
��� �������� ���������� ������� ������������ ������������ � �������-
���������������� ���������. ������ � ���������� �� ����� �������-
������ ������ �� ������ �������������� ������, ������� �������� �
���������� � �������� ������������.
    � ����� ������ ���������������� ��������� � �������� ��������-
���� ����� ���:
                    �        �u        �u             � ku    �
                 F �� x, u,       ,� ,      ,� ,    k
                                                              � � 0,
                                                            k �
                                                                     (1.1)
                    �        � x1      � xn      � x1 � � x n � 1          n



��� x � ( x1 ,� , x n ) � R n – ������ ����������� ���������� (����� R n –
n-������ ��������� ������������), u � u ( x ) – ����������� �������, F –
�������� ������� ����� ����������. ������ ������ ����������� ����-
������ � ��������� (1.1) ���������� �� ��������� �������� ���������
� � R n , ������� ���������� �������� ������� ����� ���������.
      ������������ (����������) �������� ��������� (1.1) �� ��������
��������� � 0 � � ���������� ������ ������� u ( x ), ������������ �
����������� � � 0 ������ �� ����� ������ �������� ������������, ���-
������ � ��������� (1.1), � ���������� ��� ��������� � ������ �����
x � � 0 � ���������.
    �������� ��������� � �������� ������������ ���������� �����-
������� �� �������� �������� � ���� ������� �����������.
     ��������� � �������� ������������ ���������� ��������, ���� ���
������� ������������ ����������� ������� � �� ������� �����������.
��������, �������� ��������� � �������� ������������ ������� �����-
�� ����� ���:
             n
                              � 2u          n
                                                          �u
           � ai , j ( x )
           i , j �1         � xi � x j
                                       �   �b ( x )�x
                                           i �1
                                                  i
                                                           i
                                                               � c ( x ) u � f ( x ),   (1.2)

��� a i , j , bi , �, f – �������� �������. ������� a i , j , bi , � ���������� ��-
������������ ��������� (1.2), � ������� f – ��������� ������ (������
������). ���� f ( x ) � 0, �� ��������� (1.2) ���������� ����������, �
��������� ������ – ������������.
    ��������� � �������� ������������ ���������� �������������, ��-
�� ��� ������� ������������ ���� ������� ����������� �� �����������
�������. ������������� ��������� ������� ������� ����� ���:


                                                      4