Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

5
,0
1
2
1
1
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
w
w
ww
w
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
w
w
¦
nji
n
j,i
n
j,i
x
u
,,
x
u
,u,xB
xx
u
x
u
,,
x
u
,u,xA !!
ɝɞɟ
j,i
A
ɢ ȼ – ɡɚɞɚɧɧɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ.
ɇɚɢɛɨɥɟɟ ɱɚɫɬɨ ɜ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɮɢɡɢɤɟ ɜɫɬɪɟɱɚɸɬɫɹ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢ-
ɚɥɶɧɵɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɫ ɱɚɫɬɧɵɦɢ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɦɢ ɜɬɨɪɨɝɨ ɩɨɪɹɞɤɚ. ɇɢɠɟ ɩɪɢ-
ɜɨɞɹɬɫɹ ɧɟɤɨɬɨɪɵɟ ɩɪɢɦɟɪɵ ɬɚɤɢɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ.
ɍɪɚɜɧɟɧɢɟ ɬɟɩɥɨɩɪɨɜɨɞɧɨɫɬɢ
,F
x
u
p
xt
u
n
i
ii
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
w
w
w
w
¦
1
U
(1.3)
ɨɩɢɫɵɜɚɟɬ, ɜ ɱɚɫɬɧɨɫɬɢ, ɩɪɨɰɟɫɫ ɪɚɫɩɪɨɫɬɪɚɧɟɧɢɹ ɬɟɩɥɚ, ɚ ɬɚɤɠɟ ɩɪɨɰɟɫɫ
ɞɢɮɮɭɡɢɢ ɱɚɫɬɢɰ ɜ ɫɪɟɞɟ. ȼ ɭɪɚɜɧɟɧɢɢ (1.3) ɢ ɞɚɥɟɟ ɜ ɧɚɫɬɨɹɳɟɦ ɩɚɪɚɝɪɚ-
ɮɟ
,
U
p ɢ F ɨɛɨɡɧɚɱɚɸɬ ɡɚɞɚɧɧɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ, ɡɚɜɢɫɹɳɢɟ, ɜɨɨɛɳɟ ɝɨɜɨɪɹ, ɨɬ
ɜɟɤɬɨɪɚ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟɧɧɵɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ
)x,,x(x
n
!
1
(ɱɢɫɥɨ n ɦɨɠɟɬ
ɩɪɢɧɢɦɚɬɶ ɡɧɚɱɟɧɢɹ 1, 2, 3), ɨɬ ɜɪɟɦɟɧɢ t ,
ɚ ɬɚɤɠɟ ɨɬ ɧɟɢɡɜɟɫɬɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ
)
t,
x
(u ɢ ɟɟ ɱɚɫɬɧɵɯ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ. ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɮɭɧɤɰɢɢ
U
ɢ p ɭɞɨɜɥɟɬɜɨ-
ɪɹɸɬ ɭɫɥɨɜɢɹɦ
,const 0
0
! t
U
U
.const 0
0
!
t
pp ȿɫɥɢ ,
0
U
U
{
,
0
pp
{
ɬɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ (1.3) ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ
,ǻ fua
t
u
w
w
2
ɝɞɟ ,
00
U
pa
0
U
Ff
ɢ
¦
w
w
n
i
i
x
1
2
2
ǻ
— ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɣ ɨɩɟɪɚɬɨɪ, ɧɚɡɵɜɚɟɦɵɣ ɨɩɟɪɚɬɨɪɨɦ Ʌɚɩɥɚɫɚ.
ɍɪɚɜɧɟɧɢɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ
F
x
u
p
xt
u
n
i
ii
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
w
w
w
w
¦
1
2
2
U
(1.4)
ɨɩɢɫɵɜɚɟɬ, ɜ ɱɚɫɬɧɨɫɬɢ, ɦɚɥɵɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɫɬɪɭɧ ɢ ɫɬɟɪɠɧɟɣ ɩɪɢ
,1
n
ɦɟɦɛɪɚɧ ɩɪɢ
,2
n ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɜ ɫɠɢɦɚɟɦɨɣ ɠɢɞɤɨɫɬɢ ɢɥɢ ɝɚɡɟ ɩɪɢ ,3
n
ɚ ɬɚɤɠɟ ɷɥɟɤɬɪɨɦɚɝɧɢɬɧɵɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ. ɉɪɢ
,
0
U
U
{
0
pp
{
ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ (1.4)
ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ
.ǻ fua
t
u
w
w
2
2
2
(1.5)
ɍɪɚɜɧɟɧɢɟ (1.5) ɧɨɫɢɬ ɧɚɡɜɚɧɢɟ ɜɨɥɧɨɜɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ.
   n
                 �          �u        � u � � 2u             �         �u        �u �
�A
i , j� 1
           i,j
                 �� x , u ,
                  �         � x1
                                 ,� ,      ��
                                      � xn � � xi � x j
                                                        � B �� x , u ,
                                                             �         � x1
                                                                            ,� ,        � � 0,
                                                                                 � x n ��
��� A i , j � � – �������� �������.
    �������� ����� � �������������� ������ ����������� ����������-
������ ��������� � �������� ������������ ������� �������. ���� ���-
������� ��������� ������� ����� ���������.
    ��������� ����������������
                                       �u    n
                                                 �          � �u �
                                   �      ��                �� p    �� � F ,                     (1.3)
                                       �t  i �1 � x i        � � xi �
���������, � ���������, ������� ��������������� �����, � ����� �������
�������� ������ � �����. � ��������� (1.3) � ����� � ��������� �������-
�� � , p � F ���������� �������� �������, ���������, ������ ������, ��
������� ���������������� ���������� x � ( x1 ,� , x n ) (����� n �����
��������� �������� 1, 2, 3), �� ������� t , � ����� �� ����������� �������
u ( x , t ) � �� ������� �����������. ��� ���� ������� � � p ���������-
���� �������� � � � 0 � const � 0, p � p0 � const � 0. ���� � � � 0 ,
 p � p0 , �� ��������� (1.3) ����� �������� � ����
                                              �u
                                                 � a 2� u � f ,
                                              �t
��� a �            p0 � 0 , f � F � 0 �
                                                      n
                                                              �2
                                                ���
                                                     i �1    � x i2
— ���������������� ��������, ���������� ���������� �������.
   ��������� ���������
                                           �2u     n
                                                        �      � �u �
                                       �
                                           �t2
                                               � �
                                                 i �1 � xi
                                                               �� p    �� � F
                                                                � � xi �
                                                                                                 (1.4)

���������, � ���������, ����� ��������� ����� � �������� ��� n � 1,
������� ��� n � 2, ��������� � ��������� �������� ��� ���� ��� n � 3,
� ����� ���������������� ���������. ��� � � � 0 , p � p0 ��������� (1.4)
����� �������� � ����
                                           �2 u
                                                � a 2� u � f .                                   (1.5)
                                           �t 2


           ��������� (1.5) ����� �������� ��������� ���������.
                                                      5

Страницы