Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

7
ɫɹ ɢɧɬɟɝɪɚɥ (1.8), ɢ, ɜ ɱɚɫɬɧɨɫɬɢ, ɜɫɟ ɮɭɧɤɰɢɢ, ɤɭɫɨɱɧɨ-ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵɟ ɧɚ
ɨɬɪɟɡɤɟ
][ l,0 .
Ʌɟɝɤɨ ɜɢɞɟɬɶ, ɱɬɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɮɭɧɤɰɢɣ
)l,(L 0
2
ɥɢɧɟɣɧɨ, ɬɨ ɟɫɬɶ ɟɫɥɢ
ɮɭɧɤɰɢɢ
)l,(Lgf 0
2
,
, ɬɨ
)l,(Lgf 0
2
, ɢ ɟɫɥɢ c – ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɚɹ
ɤɨɦɩɥɟɤɫɧɚɹ ɩɨɫɬɨɹɧɧɚɹ, ɬɨ
)l,(Lfc 0
2
(ɩɨɤɚɡɚɬɶ ɷɬɨ ɫɚɦɨɫɬɨɹɬɟɥɶɧɨ).
ȼ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟ
)l,(L 0
2
ɦɨɠɧɨ ɜɜɟɫɬɢ ɫɤɚɥɹɪɧɨɟ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ
)
g
,
f
(
ɮɭɧɤɰɢɣ
)
x
(
f
ɢ
)
x
(
g
:
³
l
xd)x(g)x(f)g,f(
0
(ɱɟɪɟɡ
f ɨɛɨɡɧɚɱɚɟɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɹ, ɤɨɦɩɥɟɤɫɧɨ ɫɨɩɪɹɠɟɧɧɚɹ ɤ ɮɭɧɤɰɢɢ
f
),
ɢ ɧɨɪɦɭ
f ɮɭɧɤɰɢɢ
f
:
21
0
2
21
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
³
l
xd)x(f)ff(f , . (1.9)
ɇɨɪɦɚ (1.9) ɨɛɥɚɞɚɟɬ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦɢ ɫɜɨɣɫɬɜɚɦɢ:
1)
0
t
f , ɩɪɢɱɟɦ 0
f ɬɨɝɞɚ ɢ ɬɨɥɶɤɨ ɬɨɝɞɚ, ɤɨɝɞɚ ɮɭɧɤɰɢɹ
)
x(
ɪɚɜɧɚ ɧɭɥɸ ɩɨɱɬɢ ɜɟɡɞɟ ɧɚ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ
)
l,( 0 (ɬɨ ɟɫɬɶ ɪɚɜɧɚ ɧɭɥɸ ɜɫɸɞɭ ɧɚ
ɷɬɨɦ ɢɧɬɟɪɜɚɥɟ, ɡɚ ɢɫɤɥɸɱɟɧɢɟɦ, ɜɨɡɦɨɠɧɨ, ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ ɦɟɪɵ ɧɭɥɶ
1
);
2)
fcfc
ɞɥɹ ɥɸɛɨɝɨ ɤɨɦɩɥɟɤɫɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ c;
3) ɂɦɟɟɬ ɦɟɫɬɨ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɬɪɟɭɝɨɥɶɧɢɤɚ
gfgf
d
. (1.10)
ɋɜɨɣɫɬɜɚ 1) ɢ 2) ɜɵɬɟɤɚɸɬ ɧɟɩɨɫɪɟɞɫɬɜɟɧɧɨ ɢɡ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɧɨɪɦɵ.
Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɚ (1.10) ɩɪɢɜɟɞɟɧɨ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ, ɜ [4, ɝɥ. I, §1].
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɮɭɧɤɰɢɣ
)l,(L 0
2
, ɧɚɞɟɥɟɧɧɨɟ ɧɨɪɦɨɣ
(1.9),
ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɥɢɧɟɣɧɵɦ ɧɨɪɦɢɪɨɜɚɧɧɵɦ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɨɦ.
Ɏɭɧɤɰɢɢ
g
,
ɢɡ )l,(L 0
2
ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɨɪɬɨɝɨɧɚɥɶɧɵɦɢ ɜ ɷɬɨɦ ɩɪɨ-
ɫɬɪɚɧɫɬɜɟ, ɟɫɥɢ ɢɯ ɫɤɚɥɹɪɧɨɟ ɩɪɨɢɡɜɟɞɟɧɢɟ ɪɚɜɧɨ ɧɭɥɸ, ɬɨ ɟɫɬɶ
0
0
³
l
xd)x(g)x(f .
1
Ƚɨɜɨɪɹɬ, ɱɬɨ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɧɚ ɱɢɫɥɨɜɨɣ ɩɪɹɦɨɣ ɢɦɟɟɬ ɦɟɪɭ ɧɭɥɶ, ɟɫɥɢ ɞɥɹ ɥɸɛɨɝɨ
0
!
H
ɨɧɨ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɩɨɤɪɵɬɨ ɢɧɬɟɪɜɚɥɚɦɢ, ɫɭɦɦɚ ɞɥɢɧ ɤɨɬɨɪɵɯ ɦɟɧɶɲɟ
H
(ɫɦ., ɧɚ-
ɩɪɢɦɟɪ, [4, ɝɥ. I, §1] ). 
�� �������� (1.8), �, � ���������, ��� �������, �������-����������� ��
������� [ 0 , l ] .
    ����� ������, ��� ��������� ������� L 2 ( 0 , l ) �������, �� ���� ����
������� f , g � L 2 ( 0 , l ) , �� f � g � L 2 ( 0 , l ) , � ���� c – ������������
����������� ����������, �� c f � L 2 ( 0 , l ) (�������� ��� ��������������).
� ������������ L 2 ( 0 , l ) ����� ������ ��������� ������������ ( f , g )
������� f ( x ) � g ( x ) :
                                            l

                                ( f , g ) � � f ( x ) g( x ) d x
                                            0

(����� f ������������ �������, ���������� ����������� � ������� f ),
� ����� f ������� f :
                                                                       12
                                                        �l             �
                                                        �
                                                                 2
                               f �( f, f )      12
                                                     � �� f ( x ) d x �� .        (1.9)
                                                        �0             �
       ����� (1.9) �������� ���������� ����������:
    1) f � 0 , ������ f � 0 ����� � ������ �����, ����� ������� f ( x )
����� ���� ����� ����� �� ��������� ( 0 , l ) (�� ���� ����� ���� ����� ��
���� ���������, �� �����������, ��������, ��������� ���� ���� 1);
       2) c f � c f ��� ������ ������������ ����� c;
       3) ����� ����� ����������� ������������
                              f �g � f � g .                                     (1.10)
       �������� 1) � 2) �������� ��������������� �� ����������� �����.
�������������� ����������� (1.10) ���������, ��������, � [4, ��. I, §1].
     ����� �������, ��������� ������� L 2 ( 0 , l ) , ���������� ������
(1.9), �������� �������� ������������� �������������.
     ������� f , g �� L 2 ( 0 , l ) ���������� �������������� � ���� ���-
���������, ���� �� ��������� ������������ ����� ����, �� ����
                                   l

                                   � f ( x ) g( x ) d x � 0 .
                                   0



1
    �������, ��� ��������� �� �������� ������ ����� ���� ����, ���� ��� ������
� � 0 ��� ����� ���� ������� �����������, ����� ���� ������� ������ � (��., ��-
������, [4, ��. I, §1] ).
                                            7

Страницы