Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

9
ɧɨɫɬɟɣ ɢɡɦɟɪɟɧɢɹ ɢɫɯɨɞɧɵɯ ɞɚɧɧɵɯ, ɬɨ ɟɫɬɶ «ɦɚɥɵɦ» (ɜ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɧɨɦ
ɫɦɵɫɥɟ) ɢɡɦɟɧɟɧɢɹɦ ɢɫɯɨɞɧɵɯ ɞɚɧɧɵɯ ɞɨɥɠɧɵ ɨɬɜɟɱɚɬɶ «ɦɚɥɵɟ» ɢɡɦɟɧɟ-
ɧɢɹ ɪɟɲɟɧɢɹ. Ɍɨɱɧɟɟ, ɪɟɲɟɧɢɟ ɞɨɥɠɧɨ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨ ɡɚɜɢɫɟɬɶ (ɜ ɡɚɪɚɧɟɟ ɨɩ-
ɪɟɞɟɥɟɧɧɨɦ ɫɦɵɫɥɟ) ɨɬ ɢɫɯɨɞɧɵɯ ɞɚɧɧɵɯ. ɗɬɨ ɫɜɨɣɫɬɜɨ ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɭɫɬɨɣ-
ɱɢɜɨɫɬɶɸ ɪɟɲɟɧɢɹ ɩɨ ɢɫɯɨɞɧɵɦ ɞɚɧɧɵɦ.
Ʉɪɚɟɜɚɹ ɡɚɞɚɱɚ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɤɨɪɪɟɤɬɧɨɣ, ɟɫɥɢ ɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɢ
ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨ ɜ ɧɟɤɨɬɨɪɨɦ ɤɥɚɫɫɟ ɮɭɧɤɰɢɣ, ɚ ɬɚɤɠɟ ɭɫɬɨɣɱɢɜɨ ɩɨ ɢɫɯɨɞɧɵɦ
ɞɚɧɧɵɦ.
ɇɚɯɨɠɞɟɧɢɟ ɤɨɪɪɟɤɬɧɵɯ ɩɨɫɬɚɧɨɜɨɤ ɤɪɚɟɜɵɯ ɡɚɞɚɱ ɞɥɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɜ
ɱɚɫɬɧɵɯ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ, ɨɩɢɫɵɜɚɸɳɢɯ ɬɟ ɢɥɢ ɢɧɵɟ ɮɢɡɢɱɟɫɤɢɟ ɹɜɥɟɧɢɹ
(ɮɢɡɢɱɟɫɤɢɟ ɩɪɨɰɟɫɫɵ), ɢ ɪɚɡɪɚɛɨɬɤɚ ɦɟɬɨɞɨɜ ɢɯ ɪɟɲɟɧɢɹ ɫɨɫɬɚɜɥɹɸɬ ɨɫ-
ɧɨɜɧɨɟ ɫɨɞɟɪɠɚɧɢɟ ɩɪɟɞɦɟɬɚ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɮɢɡɢɤɢ.
2. Ʉɥɚɫɫɢɮɢɤɚɰɢɹ ɤɪɚɟɜɵɯ ɡɚɞɚɱ. ɉɪɟɞɩɨɥɨɠɢɦ, ɱɬɨ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟ-
ɦɵɣ ɮɢɡɢɱɟɫɤɢɣ
ɩɪɨɰɟɫɫ ɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɭɟɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɟɣ u, ɡɚɜɢɫɹɳɟɣ, ɜɨɨɛɳɟ
ɝɨɜɨɪɹ, ɨɬ ɜɟɤɬɨɪɚ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟɧɧɵɯ ɩɟɪɟɦɟɧɧɵɯ
)x,,x(x
n
!
1
(ɱɢɫɥɨ
n ɦɨɠɟɬ ɩɪɢɧɢɦɚɬɶ ɡɧɚɱɟɧɢɹ 1, 2, 3) ɢ ɨɬ ɜɪɟɦɟɧɢ t. Ȼɭɞɟɦ ɫɱɢɬɚɬɶ, ɱɬɨ
ɜɟɤɬɨɪ x ɢɡɦɟɧɹɟɬɫɹ ɜ ɧɟɤɨɬɨɪɨɣ ɨɛɥɚɫɬɢ
.
n
R
:
ȿɫɥɢ ɮɭɧɤɰɢɹ u ɧɟ ɡɚ-
ɜɢɫɢɬ ɨɬ t, ɬɨ ɟɫɬɶ
)
x
(uu
, ɬɨ ɜ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɜɦɟɫɬɨ ɬɟɪɦɢɧɚ «ɮɢɡɢɱɟ-
ɫɤɢɣ ɩɪɨɰɟɫɫ» ɛɭɞɟɦ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ ɬɟɪɦɢɧ «ɫɬɚɰɢɨɧɚɪɧɨɟ ɮɢɡɢɱɟɫɤɨɟ ɹɜ-
ɥɟɧɢɟ» ɢ ɧɚɡɵɜɚɬɶ ɫɬɚɰɢɨɧɚɪɧɵɦ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ, ɤɨɬɨɪɨɦɭ
ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɷɬɚ ɮɭɧɤɰɢɹ. ȿɫɥɢ ɠɟ ɮɭɧɤɰɢɹ u ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ t, ɬɨ ɭɤɚɡɚɧɧɨɟ
ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɧɟɫɬɚɰɢɨɧɚɪɧɵɦ.
ȼ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɦɵ ɨɝɪɚɧɢɱɢɦɫɹ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɢɟɦ ɮɢɡɢɱɟɫɤɢɯ ɩɪɨɰɟɫ-
ɫɨɜ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɨɩɢɫɵɜɚɸɬɫɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹɦɢ ɜɢɞɚ
)t,x(f)t,x(u)D,D,t,x(A
t
)t,x(u
tx
m
m
w
w
, (2.2)
ɢ ɫɬɚɰɢɨɧɚɪɧɵɯ ɮɢɡɢɱɟɫɤɢɯ ɹɜɥɟɧɢɣ, ɨɩɢɫɵɜɚɟɦɵɯ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹɦɢ ɜɢɞɚ
)x(g)t,x(u)D,x(L
x
. (2.3)
Ɂɞɟɫɶ
1
t
m – ɡɚɞɚɧɧɨɟ ɰɟɥɨɟ,
,)D,,D(D
n
xxx
!
1
,
ix
xD
i
w
w
,n,,
!1
tD
t
w
w
(ɫɦ. §1, ɩ. 2),
P
P
P
t
s
x
rs
m
stx
DD)tx(a)DDtx(A ,,,,
,
¦¦
d
1
0
(2.4)
— ɥɢɧɟɣɧɵɣ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɣ ɨɩɟɪɚɬɨɪ, ɩɨɪɹɞɨɤ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɧɟ ɩɪɟɜɨɫɯɨ-
ɞɢɬ
1
mr (ɡɞɟɫɶ 1
t
r – ɰɟɥɨɟ), ɫɨɞɟɪɠɚɳɢɣ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɟ ɩɨ ɩɟɪɟɦɟɧ-
ɧɵɦ
n
xx ,,!
1
, t (ɫɭɦɦɢɪɨɜɚɧɢɟ ɜ ɩɪɚɜɨɣ ɱɚɫɬɢ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ (2.4) ɩɪɨɢɫɯɨ-
ɞɢɬ ɩɨ ɜɫɟɦ ɦɭɥɶɬɢɢɧɞɟɤɫɚɦ
)ss(s
n
,,!
1
, ɞɥɢɧɵ ɤɨɬɨɪɵɯ
n
sss !
1
ɧɟ ɩɪɟɜɨɫɯɨɞɹɬ r , ɢ ɩɨ ɜɫɟɦ 110
m,,, !
P
);
������ ��������� �������� ������, �� ���� «�����» (� ������������
������) ���������� �������� ������ ������ �������� «�����» ������-
��� �������. ������, ������� ������ ���������� �������� (� ������� ��-
���������� ������) �� �������� ������. ��� �������� �������� �����-
�������� ������� �� �������� ������.
    ������� ������ ���������� ����������, ���� �� ������� ���������� �
����������� � ��������� ������ �������, � ����� ��������� �� ��������
������.
    ���������� ���������� ���������� ������� ����� ��� ��������� �
������� �����������, ����������� �� ��� ���� ���������� �������
(���������� ��������), � ���������� ������� �� ������� ���������� ��-
������ ���������� �������� ��������� �������������� ������.
     2. ������������� ������� �����. �����������, ��� ������������-
��� ���������� ������� ��������������� �������� u, ���������, ������
������, �� ������� ���������������� ���������� x � ( x1 ,� , x n ) (�����
n ����� ��������� �������� 1, 2, 3) � �� ������� t. ����� �������, ���
������ x ���������� � ��������� ������� � � R n . ���� ������� u �� ��-
����� �� t, �� ���� u � u ( x ) , �� � ���������� ������ ������� «������-
���� �������» ����� ������������ ������ «������������ ���������� ��-
�����» � �������� ������������ ���������������� ���������, ��������
������������� ��� �������. ���� �� ������� u ������� �� t, �� ���������
���������������� ��������� ���������� ��������������.
     � ���������� �� ����������� ������������� ���������� ������-
���, ������� ����������� ����������� ����
                   � m u( x,t )
                                � A ( x , t , D x , Dt ) u ( x , t ) � f ( x , t ) ,        (2.2)
                       �t m
� ������������ ���������� �������, ����������� ����������� ����
                              L ( x , Dx ) u( x , t ) � g ( x ) .                           (2.3)
     ����� m � 1 – �������� �����, D x � ( D x1 ,� , D xn ), D xi � � � x i ,
i � 1 ,� , n, Dt � � � t (��. §1, �. 2),
                                                        m �1
                         A ( x , t , D x , Dt ) �   �� a
                                                    s �r � �0
                                                                s, �   ( x , t ) D xs Dt�   (2.4)

— �������� ���������������� ��������, ������� �������� �� ��������-
��� r � m � 1 (����� r � 1 – �����), ���������� ����������� �� �������-
��� x1 , � , x n , t (������������ � ������ ����� ��������� (2.4) �������-
��� �� ���� �������������� s � ( s1 , � , sn ) , ����� �������
s � s1 � � � sn �� ����������� r , � �� ���� � � 0 , 1 ,� , m � 1 );

                                            9

Страницы