Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 8 стр.

UptoLike

Составители: 

8
§2. Ʉɪɚɟɜɵɟ ɡɚɞɚɱɢ ɞɥɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ ɫ ɱɚɫɬɧɵɦɢ
ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɦɢ
1. Ʉɨɪɪɟɤɬɧɵɟ ɤɪɚɟɜɵɟ ɡɚɞɚɱɢ. ɉɪɢ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɦ ɦɨɞɟɥɢɪɨɜɚ-
ɧɢɢ ɤɚɤɨɝɨ-ɥɢɛɨ ɮɢɡɢɱɟɫɤɨɝɨ ɩɪɨɰɟɫɫɚ ɧɟɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɡɚɞɚɜɚɬɶ ɬɨɥɶɤɨ
ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ, ɤɨɬɨɪɨɦɭ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɢɫɤɨɦɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ,
ɨɩɢɫɵɜɚɸɳɚɹ ɞɚɧɧɵɣ ɩɪɨɰɟɫɫ (ɩɨɞ ɢɫɤɨɦɨɣ ɮɭɧɤɰɢɟɣ ɦɨɠɟɬ ɩɨɧɢɦɚɬɶɫɹ
ɤɚɤ ɫɤɚɥɹɪɧɚɹ, ɬɚɤ ɢ ɜɟɤɬɨɪɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ, ɚ ɩɨɞ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɦ ɭɪɚɜɧɟ-
ɧɢɟɦɥɢɛɨ ɨɞɧɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ, ɥɢɛɨ ɡɚɩɢɫɚɧɧɚɹ ɜ ɜɟɤɬɨɪɧɨɣ ɮɨɪɦɟ ɫɢɫɬɟɦɚ
ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɯ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ, ɤɨɬɨɪɨɣ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɚɹ
ɜɟɤɬɨɪɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ). ɗɬɨ ɫɜɹɡɚɧɨ ɫ ɬɟɦ, ɱɬɨ ɮɢɡɢɱɟɫɤɢɟ ɩɪɨɰɟɫɫɵ, ɜɨɨɛɳɟ
ɝɨɜɨɪɹ, ɢɦɟɸɬ ɨɞɧɨɡɧɚɱɧɵɣ ɯɚɪɚɤɬɟɪ, ɜ ɬɨ ɜɪɟɦɹ ɤɚɤ ɨɩɢɫɵɜɚɸɳɢɟ ɢɯ
ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɢɦɟɸɬ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɪɟɲɟɧɢɣ. Ⱦɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ,
ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɨɛɵɤɧɨɜɟɧɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ
ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɯ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɯ, ɱɢɫɥɨ ɤɨɬɨɪɵɯ ɪɚɜɧɨ ɩɨɪɹɞɤɭ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ, ɚɪɟ-
ɲɟɧɢɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɜ ɱɚɫɬɧɵɯ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ
, ɜɨɨɛɳɟ ɝɨɜɨɪɹ, ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ ɩɪɨ-
ɢɡɜɨɥɶɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ. ɇɚɩɪɢɦɟɪ, ɨɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
0
2
ww
w
yx
u
(2.1)
ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ
,
)
y
(
g
)
x
(
f
)
y
,
x
(u
ɝɞɟ f ɢ g ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢ-
ɪɭɟɦɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ (ɩɨɤɚɡɚɬɶ ɷɬɨ ɫɚɦɨɫɬɨɹɬɟɥɶɧɨ, ɩɪɨɢɧɬɟɝɪɢɪɨɜɚɜ ɭɪɚɜɧɟ-
ɧɢɟ (2.1) ɩɨ x, ɚ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɟ ɜ ɪɟɡɭɥɶɬɚɬɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟɩɨ y).
Ⱦɥɹ ɬɨɝɨ, ɱɬɨɛɵ ɧɚɣɬɢ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ, ɨɩɢɫɵɜɚɸɳɟɟ ɤɨɧɤɪɟɬɧɵɣ ɮɢɡɢɱɟɫɤɢɣ ɩɪɨɰɟɫɫ, ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ
ɡɚɞɚɬɶ ɞɨɩɨɥɧɢɬɟɥɶɧɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ, ɤɨɬɨɪɵɦ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɢɫɤɨɦɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ.
Ɍɚɤɢɦɢ ɭɫɥɨɜɢɹɦɢ ɜ ɨɛɳɟɦ ɫɥɭɱɚɟ ɦɨɝɭɬ ɹɜɥɹɬɶɫɹ
ɧɚɱɚɥɶɧɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ, ɤɨ-
ɬɨɪɵɟ ɡɚɞɚɸɬ ɫɨɫɬɨɹɧɢɟ ɞɚɧɧɨɝɨ ɩɪɨɰɟɫɫɚ ɜ ɧɚɱɚɥɶɧɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ, ɢ
ɤɪɚɟɜɵɟ (ɝɪɚɧɢɱɧɵɟ) ɭɫɥɨɜɢɹ, ɤɨɬɨɪɵɟ ɡɚɞɚɸɬ ɪɟɠɢɦ ɧɚ ɝɪɚɧɢɰɟ ɬɨɣ ɨɛɥɚɫ-
ɬɢ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɚ, ɝɞɟ ɩɪɨɢɫɯɨɞɢɬ ɩɪɨɰɟɫɫ. ɇɚɱɚɥɶɧɵɟ ɢ ɤɪɚɟɜɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ
ɞɨɥɠɧɵ ɛɵɬɶ ɩɨɫɬɚɜɥɟɧɵ ɬɚɤ, ɱɬɨɛɵ ɪɟɲɟɧɢɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ, ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸ-
ɳɟɟ ɷɬɢɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ, ɫɭɳɟɫɬɜɨɜɚɥɨ ɢ ɛɵɥɨ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɵɦ. Ɇɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɚɹ
ɡɚɞɚɱɚ, ɡɚɤɥɸɱɚɸɳɚɹɫɹ ɜ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɢ ɪɟɲɟɧɢɹ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜ-
ɧɟɧɢɹ, ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɟɝɨ ɡɚɞɚɧɧɵɦ ɧɚɱɚɥɶɧɵɦ ɢ ɤɪɚɟɜɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ, ɧɚ-
ɡɵɜɚɟɬɫɹ ɤɪɚɟɜɨɣ ɡɚɞɚɱɟɣ ɞɥɹ ɷɬɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ.
ȼ ɡɚɞɚɱɚɯ, ɨɩɢɫɵɜɚɸɳɢɯ ɪɟɚɥɶɧɵɟ ɮɢɡɢɱɟɫɤɢɟ ɩɪɨɰɟɫɫɵ, ɢɫɯɨɞɧɵɟ
ɞɚɧɧɵɟ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ, ɧɚɱɚɥɶɧɵɟ ɢ ɝɪɚɧɢɱɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɢɫɤɨɦɨɝɨ ɪɟɲɟɧɢɹ,
ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɜ ɭɪɚɜɧɟɧɢɣ, ɫɜɨɛɨɞɧɵɯ ɱɥɟɧɨɜ ɢ ɬ. ɞ., ɨɛɵɱɧɨ ɩɨ-
ɥɭɱɚɸɬɫɹ ɩɭɬɟɦ ɢɡɦɟɪɟɧɢɣ
, ɢ ɩɨɷɬɨɦɭ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɵɦɢ. Ʉɚɤ ɩɪɚ-
ɜɢɥɨ, ɷɬɢ ɩɪɢɛɥɢɠɟɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɦɚɥɨ ɨɬɥɢɱɚɸɬɫɹ ɨɬ ɬɨɱɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ
ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɜɟɥɢɱɢɧ, ɢ ɩɨɝɪɟɲɧɨɫɬɶ ɢɦɟɟɬ ɫɥɭɱɚɣɧɵɣ ɯɚɪɚɤɬɟɪ. Ⱦɥɹ
ɨɞɧɨɡɧɚɱɧɨɣ ɮɢɡɢɱɟɫɤɨɣ ɢɧɬɟɪɩɪɟɬɚɰɢɢ ɪɟɲɟɧɢɹ ɡɚɞɚɱɢ ɧɭɠɧɨ ɛɵɬɶ ɭɜɟ-
ɪɟɧɧɵɦ ɜ ɬɨɦ, ɱɬɨ ɷɬɨ ɪɟɲɟɧɢɟ ɧɟ ɛɭɞɟɬ ɫɭɳɟɫɬɜɟɧɧɨ ɡɚɜɢɫɟɬɶ ɨɬ ɩɨɝɪɟɲ-
         §2. ������� ������ ��� ��������� � ��������
                        ������������

     1. ���������� ������� ������. ��� �������������� ����������-
��� ������-���� ����������� �������� ������������ �������� ������
���������������� ���������, �������� ������������� ������� �������,
����������� ������ ������� (��� ������� �������� ����� ����������
��� ���������, ��� � ��������� �������, � ��� ���������������� ������-
���� – ���� ���� ���������, ���� ���������� � ��������� ����� �������
���������������� ���������, ������� ������������� ���������������
��������� �������). ��� ������� � ���, ��� ���������� ��������, ������
������, ����� ����������� ��������, � �� ����� ��� ����������� ��
���������������� ��������� ����� ��������� �������. �������������,
����� ������� ������������� ����������������� ��������� ������� ��
������������ ����������, ����� ������� ����� ������� ���������, � ��-
����� ��������� � ������� �����������, ������ ������, ������� �� ���-
��������� �������. ��������, ����� ������� ���������
                               � 2u
                                     �0                                  (2.1)
                              � x� y
����� ��� u ( x , y ) � f ( x ) � g ( y ), ��� f � g – ������������ ����������-
������ ������� (�������� ��� ��������������, ��������������� ������-
��� (2.1) �� x, � ���������� � ���������� ��������� – �� y).
     ��� ����, ����� ����� ������������ ������� �����������������
���������, ����������� ���������� ���������� �������, ����������
������ �������������� �������, ������� ������������� ������� �������.
������ ��������� � ����� ������ ����� �������� ��������� �������, ��-
����� ������ ��������� ������� �������� � ��������� ������ �������, �
������� (���������) �������, ������� ������ ����� �� ������� ��� �����-
�� ������������, ��� ���������� �������. ��������� � ������� �������
������ ���� ���������� ���, ����� ������� ���������, ������������-
��� ���� ��������, ������������ � ���� ������������. ��������������
������, ������������� � ���������� ������� ����������������� ����-
�����, ���������������� �������� ��������� � ������� ��������, ��-
�������� ������� ������� ��� ����� ���������.
     � �������, ����������� �������� ���������� ��������, ��������
������, ��������, ��������� � ��������� �������� �������� �������,
�������� ������������� ���������, ��������� ������ � �. �., ������ ��-
�������� ����� ���������, � ������� �������� �������������. ��� ���-
����, ��� ������������ �������� ���� ���������� �� ������ ��������
��������������� �������, � ����������� ����� ��������� ��������. ���
����������� ���������� ������������� ������� ������ ����� ���� ���-
������ � ���, ��� ��� ������� �� ����� ����������� �������� �� ������-
                                      8