Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

10
s
x
rs
sx
D)x(a)Dx(L
¦
d
,
– ɥɢɧɟɣɧɵɣ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɣ ɨɩɟɪɚɬɨɪ ɩɨɪɹɞɤɚ r
;
)tx(a
s
,
,
P
, )x(a
s
,
)
t
,x(
f
,
)
x(
g
– ɡɚɞɚɧɧɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ. Ɏɭɧɤɰɢɢ )tx(a
s
,
,
P
(ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ
)x(a
s
) ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɚɦɢ ɨɩɟɪɚɬɨɪɚ )D,D,t,x(A
tx
(ɫɨɨɬɜɟɬ-
ɫɬɜɟɧɧɨ ɨɩɟɪɚɬɨɪɚ
)D,x(L
x
).
Ɉɛɥɚɫɬɶɸ ɡɚɞɚɧɢɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (2.2) (ɫɦ. §1) ɛɭɞɟɦ ɫɱɢɬɚɬɶ ɰɢɥɢɧɞɪ
^
`
Tt,xR)t,x(Q
n
T
0
1
:
: , ɝɞɟ T – ɧɟɤɨɬɨɪɚɹ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶ-
ɧɚɹ ɩɨɫɬɨɹɧɧɚɹ ɢɥɢ
f
. Ɉɛɥɚɫɬɶɸ ɡɚɞɚɧɢɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (2.3) ɹɜɥɹɟɬɫɹ
:
.
Ʌɟɝɤɨ ɜɢɞɟɬɶ, ɱɬɨ ɱɚɫɬɧɵɦɢ ɫɥɭɱɚɹɦɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (2.2) ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɥɢ-
ɧɟɣɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɢ ɥɢɧɟɣɧɨɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɬɟɩɥɨɩɪɨɜɨɞɧɨɫɬɢ, ɚ
ɱɚɫɬɧɵɦ ɫɥɭɱɚɟɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (2.3) ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ ɉɭɚɫɫɨɧɚ.
Ɋɚɡɥɢɱɚɸɬ ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɬɪɢ ɨɫɧɨɜɧɵɯ ɬɢɩɚ ɤɪɚɟɜɵɯ ɡɚɞɚɱ ɞɥɹ ɭɪɚɜɧɟ-
ɧɢɣ (2.2) ɢ (2.3).
Ⱥ) Ɂɚɞɚɱɚ Ʉɨɲɢ ɞɥɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (2.2)
ɉɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɬɫɹ, ɱɬɨ
n
R
:
. ɋɬɚɜɹɬɫɹ ɧɚɱɚɥɶɧɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ
)x(u),x(u
0
0
, )x(u
t
),x(u
1
0
w
w
, ! , )x(u
t
),x(u
m
m
m
1
1
1
0
w
w
,
(2.5)
ɝɞɟ
n
R
x
ɢ
)x(u
0
, … ,
)x(u
m 1
– ɡɚɞɚɧɧɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ. Ƚɪɚɧɢɱɧɵɟ ɭɫɥɨ-
ɜɢɹ ɨɬɫɭɬɫɬɜɭɸɬ.
Ȼ) ɋɦɟɲɚɧɧɚɹ ɡɚɞɚɱɚ ɞɥɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (2.3)
ɉɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɬɫɹ, ɱɬɨ
n
R
:
. Ɂɚɞɚɸɬɫɹ ɧɚɱɚɥɶɧɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ (2.5) ɜ
ɬɨɱɤɚɯ
:
x
ɢ ɝɪɚɧɢɱɧɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ ɧɚ ɝɪɚɧɢɰɟ ɨɛɥɚɫɬɢ
:
.
ȼ) Ʉɪɚɟɜɚɹ ɡɚɞɚɱɚ ɞɥɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (2.3)
ɉɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɬɫɹ, ɱɬɨ
n
R
:
. Ɂɚɞɚɸɬɫɹ ɝɪɚɧɢɱɧɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ ɧɚ ɝɪɚɧɢ-
ɰɟ ɨɛɥɚɫɬɢ
:
, ɧɚɱɚɥɶɧɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ, ɟɫɬɟɫɬɜɟɧɧɨ, ɨɬɫɭɬɫɬɜɭɸɬ.
3. Ʉɥɚɫɫɢɱɟɫɤɢɟ ɢ ɨɛɨɛɳɟɧɧɵɟ ɩɨɫɬɚɧɨɜɤɢ ɤɪɚɟɜɵɯ ɡɚɞɚɱ. ȼɞɚɥɶ-
ɧɟɣɲɟɦ ɦɵ ɛɭɞɟɦ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɩɨɫɬɚɧɨɜɤɢ ɤɪɚɟɜɵɯ ɡɚɞɚɱ, ɯɚɪɚɤɬɟɪɢ-
ɡɭɸɳɢɟɫɹ ɬɟɦ, ɱɬɨ ɢɯ ɪɟɲɟɧɢɹ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɸɬɫɹ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɝɥɚɞɤɢɦɢ (ɬɨ
ɟɫɬɶ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵɦɢ ɢ ɢɦɟɸɳɢɦɢ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵɟ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɟ, ɢɫɩɨɥɶɡɭɟ-
ɦɵɟ ɜ ɩɨɫɬɚɧɨɜɤɟ ɤɪɚɟɜɨɣ ɡɚɞɚɱɢ), ɢ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɬ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɦɭ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ (ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ ɧɚɱɚɥɶɧɵɦ ɢ (ɢɥɢ) ɤɪɚɟɜɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ) ɜ ɤɚɠ-
ɞɨɣ ɬɨɱɤɟ ɨɛɥɚɫɬɢ ɡɚɞɚɧɢɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ ɜ ɤɚɠɞɨɣ ɬɨɱɤɟ
ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ, ɧɚ ɤɨɬɨɪɨɦ ɫɬɚɜɹɬɫɹ ɧɚɱɚɥɶɧɵɟ ɢ (ɢɥɢ) ɤɪɚɟɜɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ). Ɍɚ-
                                   L ( x, Dx ) �   � a ( x )D
                                                    s �r
                                                           s
                                                                  s
                                                                  x



– �������� ���������������� �������� ������� r ; a s , � ( x , t ) , a s ( x ) ,
 f ( x , t ) , g( x ) – �������� �������. ������� a s , � ( x , t ) (��������������
a s ( x ) ) ���������� �������������� ��������� A ( x , t , D x , Dt ) (�������-
������� ��������� L ( x , D x ) ).
     �������� ������� ��������� (2.2) (��. §1) ����� ������� �������
QT � � ( x , t ) � R n� 1 : x � � , 0 � t � T � , ��� T – ��������� ����������-
��� ���������� ��� � � . �������� ������� ��������� (2.3) �������� � .
     ����� ������, ��� �������� �������� ��������� (2.2) �������� ��-
������ ��������� ��������� � �������� ��������� ����������������, �
������� ������� ��������� (2.3) �������� ��������� ��������.
     ��������� ��������� ��� �������� ���� ������� ����� ��� ������-
��� (2.2) � (2.3).


     �) ������ ���� ��� ��������� (2.2)
     ��������������, ��� � � R n . �������� ��������� �������
                           � u ( x ,0 )                  � m �1 u ( x , 0 )
u ( x , 0 ) � u0 ( x ) ,                � u1 ( x ) , � ,                    � um �1 ( x ) ,
                               �t                             � t m �1
 (2.5)
��� x � R n � u0 ( x ) , … , um �1 ( x ) – �������� �������. ��������� ����-
��� �����������.
    �) ��������� ������ ��� ��������� (2.3)
    ��������������, ��� � � R n . �������� ��������� ������� (2.5) �
������ x � � � ��������� ������� �� ������� ������� � .
     �) ������� ������ ��� ��������� (2.3)
     ��������������, ��� � � R n . �������� ��������� ������� �� �����-
�� ������� � , ��������� �������, �����������, �����������.
     3. ������������ � ���������� ���������� ������� �����. � ����-
������ �� ����� ������������� ���������� ������� �����, ���������-
�������� ���, ��� �� ������� �������������� ���������� �������� (��
���� ������������ � �������� ����������� �����������, ���������-
��� � ���������� ������� ������), � ������������� �����������������
��������� (�������������� ��������� � (���) ������� ��������) � ���-
��� ����� ������� ������� ��������� (�������������� � ������ �����
���������, �� ������� �������� ��������� � (���) ������� �������). ��-

                                                 10

Страницы