Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

12
ɫɟ ɫɬɟɪɠɧɹ, ɩɪɢɯɨɞɹɳɟɣɫɹ ɧɚ ɟɞɢɧɢɰɭ ɟɝɨ ɨɛɴɟɦɚ; ɜɟɥɢɱɢɧɚ
k ɹɜɥɹɟɬɫɹ
ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɦ ɩɪɨɩɨɪɰɢɨɧɚɥɶɧɨɫɬɢ ɜ ɡɚɤɨɧɟ Ɏɭɪɶɟ ɪɚɫɩɪɨɫɬɪɚɧɟɧɢɹ ɬɟ-
ɩɥɚ (ɫɦ. ɧɢɠɟ); ɧɚɤɨɧɟɰ, ɜɟɥɢɱɢɧɚ F ɱɢɫɥɟɧɧɨ ɪɚɜɧɚ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɭ ɬɟɩɥɚ, ɜɵ-
ɞɟɥɹɟɦɨɝɨ ɢɥɢ ɩɨɝɥɨɳɚɟɦɨɝɨ ɜ ɟɞɢɧɢɰɟ ɨɛɴɟɦɚ ɫɬɟɪɠɧɹ ɡɚ ɟɞɢɧɢɰɭ ɜɪɟɦɟ-
ɧɢ
ȼɨɨɛɳɟ ɝɨɜɨɪɹ, ɜɟɥɢɱɢɧɵ
c ,
U
, k , F ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɹɦɢ ɨɬ x , t ɢ
ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɵ
u . Ɉɞɧɚɤɨ ɜɨ ɦɧɨɝɢɯ ɜɚɠɧɵɯ ɞɥɹ ɩɪɢɥɨɠɟɧɢɣ ɡɚɞɚɱɚɯ ɮɭɧɤ-
ɰɢɢ
c ,
U
, k , F ɦɟɧɹɸɬɫɹ ɫ ɢɡɦɟɧɟɧɢɟɦ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɵ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɦɟɞɥɟɧɧɨ
ɢ ɮɭɧɤɰɢɢ
c
,
U
,
k
ɧɟ ɡɚɜɢɫɹɬ ɨɬ ɜɪɟɦɟɧɢ. ɉɨɷɬɨɦɭ ɫ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨɣ ɞɥɹ
ɦɧɨɝɢɯ ɩɪɚɤɬɢɱɟɫɤɢɯ ɡɚɞɚɱ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ ɦɨɠɧɨ ɫɱɢɬɚɬɶ, ɱɬɨ
c ,
U
, k ɡɚɜɢ-
ɫɹɬ ɬɨɥɶɤɨ ɨɬ
x
, ɚ ɮɭɧɤɰɢɹ F ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ
x
, t .
ȼ ɫɥɭɱɚɟ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɫɬɟɪɠɧɹ ɮɭɧɤɰɢɢ
c ,
U
, k ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɩɨɫɬɨɹɧ-
ɧɵɦɢ, ɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ (3.1) ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ
,f
x
u
a
t
u
w
w
w
w
2
2
2
lx
0
,
0
!
t
,
ɝɞɟ
)c(ka
U
, )c(Ff
U
.
ɋɨɝɥɚɫɧɨ ɡɚɤɨɧɭ Ɏɭɪɶɟ ɪɚɫɩɪɨɫɬɪɚɧɟɧɢɹ ɬɟɩɥɚ, ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɬɟɩɥɚ,
ɩɪɨɯɨɞɹɳɟɟ ɜ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɢ ɨɫɢ Ox ɡɚ ɟɞɢɧɢɰɭ ɜɪɟɦɟɧɢ ɱɟɪɟɡ ɟɞɢɧɢɰɭ
ɩɥɨɳɚɞɢ ɩɨɩɟɪɟɱɧɨɝɨ ɫɟɱɟɧɢɹ ɫɬɟɪɠɧɹ, ɨɬɜɟɱɚɸɳɟɝɨ ɬɨɱɤɟ ɫ ɚɛɫɰɢɫɫɨɣ x
ɪɚɜɧɨ
x
)t,x(u
)x(k)t,x(q
w
w
. (3.2)
Ɏɭɧɤɰɢɹ
)
t
,x(q ɧɨɫɢɬ ɧɚɡɜɚɧɢɟ ɩɥɨɬɧɨɫɬɢ ɬɟɩɥɨɜɨɝɨ ɩɨɬɨɤɚ. Ɂɧɚ-
ɱɟɧɢɟ ɮɭɧɤɰɢɢ
q
ɜ ɬɨɱɤɟ )t,x(
00
ɫɱɢɬɚɟɬɫɹ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɦ, ɟɫɥɢ ɜ ɧɟɤɨ-
ɬɨɪɨɣ ɨɤɪɟɫɬɧɨɫɬɢ ɬɨɱɤɢ
0
x ɫɬɟɪɠɧɹ ɜ ɬɟɱɟɧɢɟ ɧɟɤɨɬɨɪɨɝɨ ɩɪɨɦɟɠɭɬɤɚ
ɜɪɟɦɟɧɢ
> @
tdt,t
00
ɬɟɩɥɨ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ ɬɟɱɟɬ ɜ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɢ ɨɫɢ Ox, ɢ
ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵɦ ɜ ɩɪɨɬɢɜɧɨɦ ɫɥɭɱɚɟ. ɗɬɢɦ ɨɛɴɹɫɧɹɟɬɫɹ ɜɵɛɨɪ ɡɧɚɤɚ « – » ɜ
ɮɨɪɦɭɥɟ (3.2). Ⱦɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɨ, ɟɫɥɢ ɜ ɨɤɪɟɫɬɧɨɫɬɢ ɬɨɱɤɢ
0
x ɡɚ ɩɪɨɦɟɠɭɬɨɤ
ɜɪɟɦɟɧɢ
> @
tdt,t
00
ɬɟɩɥɨ ɩɪɨɬɟɤɚɟɬ ɜ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɢ ɨɫɢ Ox, ɬɨ ɬɟɦɩɟɪɚ-
ɬɭɪɚ
)t,x(u
0
ɭɛɵɜɚɟɬ ɜ ɭɤɚɡɚɧɧɨɣ ɨɤɪɟɫɬɧɨɫɬɢ, ɬɚɤ ɤɚɤ ɬɟɩɥɨ ɪɚɫɩɪɨɫɬɪɚ-
ɧɹɟɬɫɹ ɢɡ ɦɟɫɬ ɫ ɛɨɥɟɟ ɜɵɫɨɤɨɣ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɨɣ ɤ ɦɟɫɬɚɦ ɫ ɛɨɥɟɟ ɧɢɡɤɨɣ. ɉɨ-
ɷɬɨɦɭ
0
00
w
w
x
)t,x(u
, ɢ, ɜ ɫɢɥɭ (3.2),
0
00
!
)t,x(q
, ɱɬɨ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ ɫɨ-
ɝɥɚɲɟɧɢɸ ɨ ɡɧɚɤɟ ɜɟɥɢɱɢɧɵ
q . Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɬɫɹ ɢ ɫɥɭɱɚɣ, ɤɨ-
ɝɞɚ ɬɟɩɥɨ ɩɪɨɬɟɤɚɟɬ ɩɪɨɬɢɜ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɹ ɨɫɢ Ox.
Ⱦɥɹ ɬɨɝɨ, ɱɬɨɛɵ ɩɨɥɧɨɫɬɶɸ ɨɩɢɫɚɬɶ ɩɪɨɰɟɫɫ ɪɚɫɩɪɨɫɬɪɚɧɟɧɢɹ ɬɟɩɥɚ ɜ
ɫɬɟɪɠɧɟ, ɧɟɨɛɯɨɞɢɦɨ ɡɚɞɚɬɶ ɧɚɱɚɥɶɧɭɸ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɭ ɬɨɱɟɤ ɫɬɟɪɠɧɹ ɢ ɬɟɩ-
�� �������, ������������ �� ������� ��� ������; �������� k ��������
������������� ������������������ � ������ ����� ��������������� ��-
��� (��. ����); �������, �������� F �������� ����� ���������� �����, ��-
��������� ��� ������������ � ������� ������ ������� �� ������� �����-
��
     ������ ������, �������� c , � , k , F �������� ��������� �� x , t �
����������� u . ������ �� ������ ������ ��� ���������� ������� ����-
��� c , � , k , F �������� � ���������� ����������� ���������� ��������
� ������� c , � , k �� ������� �� �������. ������� � ����������� ���
������ ������������ ����� ��������� ����� �������, ��� c , � , k ����-
��� ������ �� x , � ������� F ������� �� x , t .
     � ������ ����������� ������� ������� c , � , k �������� �������-
����, � ��������� (3.1) ����� �������� � ����
                           �u      � 2u
                              � a2      � f , 0 � x � l , t � 0,
                           �t      � x2
��� a � k ( c� ) , f � F ( c� ) .
     �������� ������ ����� ��������������� �����, ���������� �����,
���������� � ����������� ��� Ox �� ������� ������� ����� �������
������� ����������� ������� �������, ����������� ����� � ��������� x
�����
                                                         � u( x , t )
                                q ( x , t ) � �k ( x )                .           (3.2)
                                                            �x
     ������� q( x , t ) ����� �������� ��������� ��������� ������. ���-
����� ������� q � ����� ( x 0 , t 0 ) ��������� �������������, ���� � ����-
����� ����������� ����� x0 ������� � ������� ���������� ����������
������� � t 0 , t 0 � d t � ����� ������������� ����� � ����������� ��� Ox, �
������������� � ��������� ������. ���� ����������� ����� ����� « – » �
������� (3.2). �������������, ���� � ����������� ����� x 0 �� ����������
������� � t 0 , t 0 � d t � ����� ��������� � ����������� ��� Ox, �� �������-
���� u ( x , t 0 ) ������� � ��������� �����������, ��� ��� ����� ����������-
������ �� ���� � ����� ������� ������������ � ������ � ����� ������. ��-
      � u ( x0 , t 0 )
�����                  � 0 , �, � ���� (3.2), q ( x0 , t 0 ) � 0 , ��� ������������� ��-
           �x
�������� � ����� �������� q . ���������� ��������������� � ������, ��-
��� ����� ��������� ������ ����������� ��� Ox.
     ��� ����, ����� ��������� ������� ������� ��������������� ����� �
�������, ���������� ������ ��������� ����������� ����� ������� � ���-

                                           12

Страницы