Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

14
ɤɨɧɰɚ. ȼ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɛɭɞɟɦ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɬɶ, ɱɬɨ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ
1
H ɢ
2
H
ɩɨɫɬɨɹɧɧɵ.
ɍɫɥɨɜɢɹ (3.5), (3.6) ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ
)t()t,(uh
x
)t,(u
11
0
0
J
w
w
, (3.7)
)t()t,l(uh
x
)t,l(u
22
J
w
w
, (3.8)
ɝɞɟ
0
0
1
1
!
)(k
H
h
, 0
2
2
!
)l(k
H
h
,
)(k
)t(pH
)t(
0
11
1
J
,
)l(k
)t(pH
)t(
22
2
J
.
ȼɫɟ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɧɵɟ ɜɵɲɟ ɤɪɚɟɜɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ ɞɥɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (3.1) ɦɨɠɧɨ
ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ:
)t()t,(u
x
)t,(u
111
0
0
JED
w
w
, 0
!
t , (3.9)
)t()t,l(u
x
)t,l(u
222
JED
w
w
, 0
!
t
, (3.10)
ɝɞɟ
1
D
,
1
E
,
2
D
,
2
E
– ɡɚɞɚɧɧɵɟ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɟ, ɩɪɢɱɟɦ 0
2
1
2
1
!
E
D
,
0
2
2
2
2
!
E
D
;
)t(
1
J
,
)t(
2
J
– ɡɚɞɚɧɧɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ.
ȿɫɥɢ
0
1
D
, 1
1
E
, ɬɨ ɭɫɥɨɜɢɟ (3.9) ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɤɪɚɟɜɵɦ ɭɫɥɨɜɢɟɦ
ɩɟɪɜɨɝɨ ɪɨɞɚ (ɧɚ ɥɟɜɨɦ ɤɨɧɰɟ); ɟɫɥɢ
0
1
z
D
, 0
1
E
, ɬɨ ɭɤɚɡɚɧɧɨɟ ɭɫɥɨɜɢɟ
ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɤɪɚɟɜɵɦ ɭɫɥɨɜɢɟɦ ɜɬɨɪɨɝɨ ɪɨɞɚ; ɟɫɥɢ ɠɟ
0
1
z
D
,
0
1
z
E
, ɬɨ
ɨɧɨ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɤɪɚɟɜɵɦ ɭɫɥɨɜɢɟɦ ɬɪɟɬɶɟɝɨ ɪɨɞɚ. Ⱥɧɚɥɨɝɢɱɧɨ ɜɜɨɞɹɬɫɹ ɢ
ɩɨɧɹɬɢɹ ɤɪɚɟɜɵɯ ɭɫɥɨɜɢɣ ɩɟɪɜɨɝɨ, ɜɬɨɪɨɝɨ ɢ ɬɪɟɬɶɟɝɨ ɪɨɞɚ ɧɚ ɩɪɚɜɨɦ ɤɨɧ-
ɰɟ.
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɡɚɞɚɱɚ ɨ ɪɚɫɩɪɨɫɬɪɚɧɟɧɢɢ ɬɟɩɥɚ ɜ ɬɨɧɤɨɦ ɫɬɟɪɠɧɟ ɫ
ɬɟɩɥɨɢɡɨɥɢɪɨɜɚɧɧɨɣ ɛɨɤɨɜɨɣ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶɸ ɫɬɚɜɢɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ:
ɬɪɟɛɭɟɬɫɹ ɧɚɣɬɢ ɪɟɲɟɧɢɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (3.1), ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɟɟ ɧɚɱɚɥɶɧɨɦɭ
ɭɫɥɨɜɢɸ (3.3) ɢ ɤɪɚɟɜɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ (3.9), (3.10), ɝɞɟ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ
1
D
,
1
E
,
2
D
,
2
E
ɢ ɮɭɧɤɰɢɢ )t(
1
J
, )t(
2
J
ɡɚɞɚɸɬɫɹ ɜ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ ɫ ɮɨɪɦɭɥɚɦɢ ɜɢ-
ɞɚ (3.4) – (3.6). ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɜɨɡɦɨɠɧɚ ɩɨɫɬɚɧɨɜɤɚ ɤɪɚɟɜɵɯ ɭɫɥɨɜɢɣ ɪɚɡɥɢɱɧɨ-
ɝɨ ɪɨɞɚ ɧɚ ɪɚɡɥɢɱɧɵɯ ɤɨɧɰɚɯ ɫɬɟɪɠɧɹ.
�����. � ���������� ����� ������������, ��� ������������ H 1 � H 2
���������.
    ������� (3.5), (3.6) ����� �������� � ����
                          �u( 0 , t )
                                      � h1 u ( 0 , t ) � � 1 ( t ) ,              (3.7)
                            �x
                          �u( l , t )
                                      � h2 u ( l , t ) � � 2 ( t ) ,              (3.8)
                            �x
���
                                H1               H2
                        h1 �         � 0 , h2 �        � 0,
                               k(0 )            k( l )
                                     H 1 p1( t )              H 2 p2 ( t )
                      � 1( t ) � �               , � 2( t ) �              .
                                      k( 0 )                   k(l )
    ��� ������������� ���� ������� ������� ��� ��������� (3.1) �����
�������� ��������� �������:
                             �u( 0 , t )
                        �1               � �1 u( 0 , t ) � � 1 ( t ) , t � 0 ,    (3.9)
                               �x
                             �u( l , t )
                        �2               � � 2 u( l , t ) � � 2 ( t ), t � 0 ,   (3.10)
                               �x
��� � 1 , � 1 , � 2 , � 2 – �������� ����������, ������ � 12 � � 12 � 0 ,
� 22 � � 22 � 0 ; � 1 ( t ) , � 2 ( t ) – �������� �������.
      ���� � 1 � 0 , � 1 � 1 , �� ������� (3.9) ���������� ������� ��������
������� ���� (�� ����� �����); ���� � 1 � 0 , � 1 � 0 , �� ��������� �������
���������� ������� �������� ������� ����; ���� �� � 1 � 0 , � 1 � 0 , ��
��� ���������� ������� �������� �������� ����. ���������� �������� �
������� ������� ������� �������, ������� � �������� ���� �� ������ ���-
��.
      ����� �������, ������ � ��������������� ����� � ������ ������� �
������������������ ������� ������������ �������� ��������� �������:
��������� ����� ������� ��������� (3.1), ��������������� ����������
������� (3.3) � ������� �������� (3.9), (3.10), ��� ������������ � 1 , � 1 ,
� 2 , � 2 � ������� � 1 ( t ) , � 2 ( t ) �������� � ������������ � ��������� ��-
�� (3.4) – (3.6). ��� ���� �������� ���������� ������� ������� ��������-
�� ���� �� ��������� ������ �������.


                                            14

Страницы