Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

13
ɥɨɜɨɣ ɪɟɠɢɦ ɧɚ ɟɝɨ ɤɨɧɰɚɯ, ɬɨ ɟɫɬɶ ɞɥɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (3.1) ɧɭɠɧɨ ɡɚɞɚɬɶ ɧɚ-
ɱɚɥɶɧɵɟ ɢ ɤɪɚɟɜɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ.
ɉɭɫɬɶ
)
x(
M
– ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɚ ɜ ɬɨɱɤɟ x ɫɬɟɪɠɧɹ ɜ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ
0
t
. Ɍɨɝɞɚ ɫɬɚɜɢɬɫɹ ɧɚɱɚɥɶɧɨɟ ɭɫɥɨɜɢɟ
)
x
(
)
,
x
(u
M
0 , l
x
d
d
0 . (3.3)
ɇɚ ɤɨɧɰɚɯ ɫɬɟɪɠɧɹ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɢɡɜɟɫɬɧɵ ɥɢɛɨ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɚ, ɥɢɛɨ
ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɬɟɩɥɨɜɨɝɨ ɩɨɬɨɤɚ, ɥɢɛɨ ɦɨɝɭɬ ɛɵɬɶ ɡɚɞɚɧɵ ɭɫɥɨɜɢɹ ɬɟɩɥɨɨɛɦɟɧɚ
ɫ ɨɤɪɭɠɚɸɳɟɣ ɫɪɟɞɨɣ. ɇɚɩɪɢɦɟɪ, ɟɫɥɢ ɧɚ ɥɟɜɨɦ ɤɨɧɰɟ ɫɬɟɪɠɧɹ ɡɚɞɚɧɚ
ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɚ
)
t
(
s
, ɚ ɧɚ ɩɪɚɜɨɦ ɤɨɧɰɟ ɡɚɞɚɧɚ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɬɟɩɥɨɜɨɝɨ ɩɨɬɨɤɚ
)
t(w , ɬɨ ɫɬɚɜɹɬɫɹ ɤɪɚɟɜɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ
)
t(
)
t,(u
0 , )t(w
x
)t,l(u
)l(k
w
w
. (3.4)
Ʉɨɧɟɰ
0
x
ɢɥɢ l
x
ɫɬɟɪɠɧɹ ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɬɟɩɥɨɢɡɨɥɢɪɨɜɚɧɧɵɦ, ɟɫ-
ɥɢ ɱɟɪɟɡ ɧɟɝɨ ɧɟ ɩɪɨɬɟɤɚɟɬ ɬɟɩɥɨ (ɬɨ ɟɫɬɶ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɬɟɩɥɨɜɨɝɨ ɩɨɬɨɤɚ ɧɚ
ɷɬɨɦ ɤɨɧɰɟ ɪɚɜɧɚ ɧɭɥɸ). ȿɫɥɢ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ, ɤɨɧɟɰ
0
x
ɬɟɩɥɨɢɡɨɥɢɪɨɜɚɧ, ɬɨ
ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɤɪɚɟɜɨɟ ɭɫɥɨɜɢɟ
0
0
w
w
x
)t,(u
.
ɉɪɟɞɩɨɥɨɠɢɦ, ɱɬɨ ɧɚ ɤɨɧɰɚɯ ɫɬɟɪɠɧɹ ɩɪɨɢɫɯɨɞɢɬ ɬɟɩɥɨɨɛɦɟɧ ɩɨ ɡɚ-
ɤɨɧɭ ɇɶɸɬɨɧɚ. ɗɬɨɬ ɡɚɤɨɧ ɫɨɫɬɨɢɬ ɜ ɬɨɦ, ɱɬɨ ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɨ ɬɟɩɥɚ, ɩɟɪɟɞɚɜɚɟ-
ɦɨɟ ɜ ɟɞɢɧɢɰɭ ɜɪɟɦɟɧɢ ɫ ɟɞɢɧɢɰɵ ɩɥɨɳɚɞɢ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɬɟɥɚ ɜ ɨɤɪɭɠɚɸ-
ɳɭɸ ɫɪɟɞɭ ɩɪɨɩɨɪɰɢɨɧɚɥɶɧɨ ɪɚɡɧɨɫɬɢ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɬɟɥɚ ɢ ɨɤ-
ɪɭɠɚɸɳɟɣ ɫɪɟɞɵ, ɬɨ ɟɫɬɶ ɪɚɜɧɨ
)
u
~
U(
H
,
ɝɞɟ
U – ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɚ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɢ ɬɟɥɚ, u
~
– ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɚ ɨɤɪɭɠɚɸɳɟɣ
ɫɪɟɞɵ,
H
– ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɩɪɨɩɨɪɰɢɨɧɚɥɶɧɨɫɬɢ, ɧɚɡɵɜɚɟɦɵɣ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧ-
ɬɨɦ ɬɟɩɥɨɨɛɦɟɧɚ.
ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɮɢɡɢɱɟɫɤɢɣ ɫɦɵɫɥ ɩɥɨɬɧɨɫɬɢ ɬɟɩɥɨɜɨɝɨ ɩɨɬɨɤɚ ɢ ɡɚɤɨɧ
ɇɶɸɬɨɧɚ, ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɭɫɥɨɜɢɹ ɬɟɩɥɨɨɛɦɟɧɚ ɧɚ ɤɨɧɰɚɯ ɫɬɟɪɠɧɹ:
> @
)t(p)t,(uH
x
t),(u
)(k
11
0
0
0
w
w
, (3.5)
> @
)t(p)t,l(uH
x
)t,l(u
)l(k
22
w
w
, (3.6)
ɝɞɟ
0
1
!
H
(ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ
0
2
!
H
) – ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɬɟɩɥɨɨɛɦɟɧɚ ɧɚ ɥɟɜɨɦ
(ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ ɧɚ ɩɪɚɜɨɦ) ɤɨɧɰɟ,
)t(p
1
(ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ )t(p
2
) – ɬɟɦɩɟ-
ɪɚɬɭɪɚ ɨɤɪɭɠɚɸɳɟɣ ɫɪɟɞɵ ɨɤɨɥɨ ɥɟɜɨɝɨ (ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ ɨɤɨɥɨ ɩɪɚɜɨɝɨ)
����� ����� �� ��� ������, �� ���� ��� ��������� (3.1) ����� ������ ��-
������� � ������� �������.
     ����� � ( x ) – ����������� � ����� x ������� � ������ �������
t � 0 . ����� �������� ��������� �������
                         u ( x ,0 ) � � ( x ) , 0 � x � l .          (3.3)
      �� ������ ������� ����� ���� �������� ���� �����������, ����
��������� ��������� ������, ���� ����� ���� ������ ������� �����������
� ���������� ������. ��������, ���� �� ����� ����� ������� ������
����������� s ( t ) , � �� ������ ����� ������ ��������� ��������� ������
w ( t ) , �� �������� ������� �������
                                                        �u( l , t )
                      u ( 0, t ) � s( t ) , � k ( l )               � w( t ).   (3.4)
                                                          �x
    ����� x � 0 ��� x � l ������� ���������� ������������������, ��-
�� ����� ���� �� ��������� ����� (�� ���� ��������� ��������� ������ ��
���� ����� ����� ����). ����, ��������, ����� x � 0 ���������������, ��
�������� ������� �������
                                      �u( 0, t )
                                                 � 0.
                                        �x
    �����������, ��� �� ������ ������� ���������� ���������� �� ��-
���� �������. ���� ����� ������� � ���, ��� ���������� �����, ���������-
��� � ������� ������� � ������� ������� ����������� ���� � �������-
��� ����� ��������������� �������� ���������� ����������� ���� � ��-
�������� �����, �� ���� �����
                              H(U � u~ ),
                                      ~ – ����������� ����������
��� U – ����������� ����������� ����, u
�����, H – ����������� ������������������, ���������� ����������-
��� �����������.
    ��������� ���������� ����� ��������� ��������� ������ � �����
�������, �������� ������� ����������� �� ������ �������:
                              � u ( 0 , t)
                        k( 0 )             � H 1 � u ( 0 , t ) � p1( t ) �,     (3.5)
                                 �x
                              �u( l , t )
                      � k(l )              � H 2 � u ( l , t ) � p2 ( t ) � ,   (3.6)
                                  �x
��� H 1 � 0 (�������������� H 2 � 0 ) – ����������� ����������� �� �����
(�������������� �� ������) �����, p1 ( t ) (�������������� p2 ( t ) ) – �����-
������ ���������� ����� ����� ������ (�������������� ����� �������)


                                          13

Страницы