Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 11 стр.

UptoLike

Составители: 

11
ɤɢɟ ɪɟɲɟɧɢɹ ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɤɥɚɫɫɢɱɟɫɤɢɦɢ (ɪɟɝɭɥɹɪɧɵɦɢ), ɚ ɩɨɫɬɚɧɨɜɤɢ ɫɨɨɬ-
ɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɯ ɤɪɚɟɜɵɯ ɡɚɞɚɱɤɥɚɫɫɢɱɟɫɤɢɦɢ ɩɨɫɬɚɧɨɜɤɚɦɢ. Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚ-
ɡɨɦ, ɤɥɚɫɫɢɱɟɫɤɚɹ ɩɨɫɬɚɧɨɜɤɚ ɡɚɞɚɱɢ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɬ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ, ɧɟɩɪɟɪɵɜ-
ɧɨɫɬɶ ɩɪɚɜɵɯ ɱɚɫɬɟɣ ɜ ɭɪɚɜɧɟɧɢɢ, ɧɚɱɚɥɶɧɵɯ ɢ ɤɪɚɟɜɵɯ ɭɫɥɨɜɢɹɯ. Ɉɞɧɚɤɨ
ɜɨ ɦɧɨɝɢɯ ɡɚɞɚɱɚɯ, ɜɫɬɪɟɱɚɸɳɢɯɫɹ ɜ ɩɪɢɥɨɠɟɧɢɹɯ, ɷɬɢ ɮɭɧɤɰɢɢ ɦɨɝɭɬ
ɢɦɟɬɶ ɫɢɥɶɧɵɟ ɨɫɨɛɟɧɧɨɫɬɢ. Ⱦɥɹ ɬɚɤɢɯ ɡɚɞɚɱ ɤɥɚɫɫɢɱɟɫɤɢɟ ɩɨɫɬɚɧɨɜɤɢ ɭɠɟ
ɨɤɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɧɟɞɨɫɬɚɬɨɱɧɵɦɢ, ɢ ɩɪɢɯɨɞɢɬɫɹ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ ɬɚɤ ɧɚɡɵɜɚɟɦɵɟ
ɨɛɨɛɳɟɧɧɵɟ ɩɨɫɬɚɧɨɜɤɢ, ɜ ɤɨɬɨɪɵɯ ɡɚɪɚɧɟɟ ɧɟ ɬɪɟɛɭɟɬɫɹ, ɱɬɨɛɵ ɪɟɲɟɧɢɟ
ɛɵɥɨ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨɟ ɱɢɫɥɨ ɪɚɡ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɭɟɦɵɦ ɢ ɞɚɠɟ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵɦ.
ɍɤɚɡɚɧɧɵɟ ɪɟɲɟɧɢɹ ɧɨɫɹɬ ɧɚɡɜɚɧɢɟ ɨɛɨɛɳɟɧɧɵɯ ɪɟɲɟɧɢɣ.
ɉɟɪɟɣɬɢ ɤ ɨɛɨɛɳɟɧɧɵɦ ɩɨɫɬɚɧɨɜɤɚɦ ɤɪɚɟɜɵɯ ɡɚɞɚɱ ɦɨɠɧɨ ɪɚɡɥɢɱɧɵ-
ɦɢ ɫɩɨɫɨɛɚɦɢ. Ɉɞɢɧ ɢɡ ɧɢɯ ɨɫɧɨɜɵɜɚɟɬɫɹ ɧɚ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧɢɢ ɬɚɤ ɧɚɡɵɜɚɟ-
ɦɵɯ ɨɛɨɛɳɟɧɧɵɯ
ɮɭɧɤɰɢɣ, ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɸɳɢɯ ɫɨɛɨɣ ɥɢɧɟɣɧɵɟ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɵɟ
ɮɭɧɤɰɢɨɧɚɥɵ ɧɚɞ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɚɦɢ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɭɟɦɵɯ ɮɭɧɤ-
ɰɢɣ [4]. Ⱦɪɭɝɢɟ ɩɨɞɯɨɞɵ ɤ ɨɛɨɛɳɟɧɧɵɦ ɩɨɫɬɚɧɨɜɤɚɦ ɤɪɚɟɜɵɯ ɡɚɞɚɱ ɢ ɩɨ-
ɧɹɬɢɹɦ ɨɛɨɛɳɟɧɧɵɯ ɪɟɲɟɧɢɣ ɫɨɞɟɪɠɚɬɫɹ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ, ɜ ɭɱɟɛɧɨɦ ɩɨɫɨɛɢɢ
[5].
§3. ɉɨɫɬɚɧɨɜɤɚ ɫɦɟɲɚɧɧɵɯ ɡɚɞɚɱ ɞɥɹ ɨɞɧɨɦɟɪɧɨɝɨ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɬɟɩɥɨɩɪɨɜɨɞɧɨɫɬɢ
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɬɟɪɠɟɧɶ ɞɥɢɧɵ
l
, ɜ ɤɨɬɨɪɨɦ ɩɪɨɢɫɯɨɞɢɬ ɩɪɨɰɟɫɫ ɪɚɫ-
ɩɪɨɫɬɪɚɧɟɧɢɹ ɬɟɩɥɚ. Ȼɨɤɨɜɭɸ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶ ɫɬɟɪɠɧɹ ɛɭɞɟɦ ɫɱɢɬɚɬɶ ɬɟɩɥɨ-
ɢɡɨɥɢɪɨɜɚɧɧɨɣ (ɷɬɨ ɨɡɧɚɱɚɟɬ, ɱɬɨ ɬɟɩɥɨ ɱɟɪɟɡ ɛɨɤɨɜɭɸ ɩɨɜɟɪɯɧɨɫɬɶ ɧɟ
ɩɪɨɯɨɞɢɬ). Ɉɫɶ ɫɬɟɪɠɧɹ ɩɪɢɦɟɦ ɡɚ ɨɫɶ ɚɛɫɰɢɫɫ, ɚ ɥɟɜɵɣ ɤɨɧɟɰɡɚ ɧɚɱɚɥɨ
ɨɬɫɱɟɬɚ. ɋɬɟɪɠɟɧɶ ɫɱɢɬɚɟɬɫɹ ɧɚɫɬɨɥɶɤɨ ɬɨɧɤɢɦ, ɱɬɨ ɜ ɤɚɠɞɵɣ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟ-
ɦɟɧɢ t ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɭ ɜɨ ɜɫɟɯ ɬɨɱɤɚɯ
ɥɸɛɨɝɨ ɟɝɨ ɩɨɩɟɪɟɱɧɨɝɨ ɫɟɱɟɧɢɹ ɦɨɠɧɨ
ɫɱɢɬɚɬɶ ɨɞɢɧɚɤɨɜɨɣ.
ɉɭɫɬɶ
)
t
,x(uu
ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɚ ɜ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ t ɜ ɩɨɩɟɪɟɱɧɨɦ
ɫɟɱɟɧɢɢ ɫɬɟɪɠɧɹ, ɨɬɜɟɱɚɸɳɟɦ ɬɨɱɤɟ ɫ ɚɛɫɰɢɫɫɨɣ
x , ɪɚɫɩɨɥɨɠɟɧɧɨɣ ɧɚ ɨɫɢ
ɫɬɟɪɠɧɹ (ɜ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɞɥɹ ɤɪɚɬɤɨɫɬɢ ɛɭɞɟɦ ɧɚɡɵɜɚɬɶ ɮɭɧɤɰɢɸ
)
t
,x(u
ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɨɣ ɜ ɬɨɱɤɟ
x
ɫɬɟɪɠɧɹ ɜ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ t ). Ɇɨɠɧɨ ɩɨɤɚɡɚɬɶ
[ɝɥ. III, §1], ɱɬɨ ɮɭɧɤɰɢɹ
)
t,
x
(u ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɨɞɧɨɦɟɪɧɨɦɭ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ
ɬɟɩɥɨɩɪɨɜɨɞɧɨɫɬɢ
,F
x
u
k
xt
u
c
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
w
w
w
w
U
l
x
0 , 0
!
t , (3.1)
ɝɞɟ
0
!
c , 0
!
U
, 0
!
k ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɟɧɧɨ ɭɞɟɥɶɧɚɹ ɬɟɩɥɨɟɦɤɨɫɬɶ, ɩɥɨɬ-
ɧɨɫɬɶ ɢ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɬɟɩɥɨɩɪɨɜɨɞɧɨɫɬɢ ɫɬɟɪɠɧɹ, Fɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɜɧɭɬɪɟɧ-
ɧɢɯ ɢɫɬɨɱɧɢɤɨɜ ɬɟɩɥɚ ɜ ɫɬɟɪɠɧɟ. Ɂɚɦɟɬɢɦ, ɱɬɨ ɜɟɥɢɱɢɧɚ c ɱɢɫɥɟɧɧɨ ɪɚɜɧɚ
ɤɨɥɢɱɟɫɬɜɭ ɬɟɩɥɚ, ɤɨɬɨɪɨɟ ɧɭɠɧɨ ɫɨɨɛɳɢɬɶ ɟɞɢɧɢɰɟ ɦɚɫɫɵ ɫɬɟɪɠɧɹ, ɱɬɨɛɵ
ɩɨɜɵɫɢɬɶ ɟɟ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɭ ɧɚ ɨɞɢɧ ɝɪɚɞɭɫ; ɜɟɥɢɱɢɧɚ
U
ɱɢɫɥɟɧɧɨ ɪɚɜɧɚ ɦɚɫ-
��� ������� ���������� ������������� (�����������), � ���������� ����-
����������� ������� ����� – ������������� ������������. ����� ����-
���, ������������ ���������� ������ ������������, ��������, ��������-
����� ������ ������ � ���������, ��������� � ������� ��������. ������
�� ������ �������, ������������� � �����������, ��� ������� �����
����� ������� �����������. ��� ����� ����� ������������ ���������� ���
����������� ��������������, � ���������� ������������ ��� ����������
���������� ����������, � ������� ������� �� ���������, ����� �������
���� ����������� ����� ��� ���������������� � ���� �����������.
��������� ������� ����� �������� ���������� �������.
     ������� � ���������� ����������� ������� ����� ����� ��������-
�� ���������. ���� �� ��� ������������ �� ������������� ��� �������-
��� ���������� �������, �������������� ����� �������� �����������
����������� ��� �������������� ���������� ���������������� ����-
��� [4]. ������ ������� � ���������� ����������� ������� ����� � ��-
������ ���������� ������� ����������, ��������, � ������� �������
[5].
      §3. ���������� ��������� ����� ��� �����������
                ��������� ����������������

      ���������� �������� ����� l , � ������� ���������� ������� ���-
������������ �����. ������� ����������� ������� ����� ������� �����-
������������� (��� ��������, ��� ����� ����� ������� ����������� ��
��������). ��� ������� ������ �� ��� �������, � ����� ����� – �� ������
�������. �������� ��������� ��������� ������, ��� � ������ ������ ���-
���� t ����������� �� ���� ������ ������ ��� ����������� ������� �����
������� ����������.
      ����� u � u ( x , t ) – ����������� � ������ ������� t � ����������
������� �������, ���������� ����� � ��������� x , ������������� �� ���
������� (� ���������� ��� ��������� ����� �������� ������� u ( x , t )
������������ � ����� x ������� � ������ ������� t ). ����� ��������
[��. III, §1], ��� ������� u ( x , t ) ������������� ����������� ���������
����������������
                           �u   � � �u�
                      c�      �     �k     � � F, 0 � x � l , t � 0,   (3.1)
                           � t � x �� � x ��
��� c � 0 , � � 0 , k � 0 – �������������� �������� ������������, ����-
����� � ����������� ���������������� �������, F – ��������� �������-
��� ���������� ����� � �������. �������, ��� �������� c �������� �����
���������� �����, ������� ����� �������� ������� ����� �������, �����
�������� �� ����������� �� ���� ������; �������� � �������� ����� ���-

                                     11