Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

15
§4. ɉɨɫɬɚɧɨɜɤɚ ɫɦɟɲɚɧɧɵɯ ɡɚɞɚɱ ɞɥɹ ɨɞɧɨɦɟɪɧɨɝɨ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ
Ʉɚɤ ɛɵɥɨ ɨɬɦɟɱɟɧɨ ɜ §1, ɤ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɩɪɢɜɨɞɢɬ ɦɚɬɟɦɚɬɢ-
ɱɟɫɤɨɟ ɨɩɢɫɚɧɢɟ ɤɨɥɟɛɚɬɟɥɶɧɵɯ ɩɪɨɰɟɫɫɨɜ ɪɚɡɥɢɱɧɨɣ ɮɢɡɢɱɟɫɤɨɣ ɩɪɢɪɨ-
ɞɵ. ɉɪɢɦɟɪɚɦɢ ɬɚɤɢɯ ɩɪɨɰɟɫɫɨɜ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɵɟ ɧɢɠɟ ɦɚɥɵɟ
ɩɨɩɟɪɟɱɧɵɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɫɬɪɭɧɵ ɢ ɦɚɥɵɟ ɩɪɨɞɨɥɶɧɵɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɭɩɪɭɝɨɝɨ
ɫɬɟɪɠɧɹ.
ɉɨɞ ɫɬɪɭɧɨɣ ɩɨɧɢɦɚɸɬ ɬɨɧɤɭɸ ɧɢɬɶ, ɤɨɬɨɪɚɹ ɦɨɠɟɬ ɫɜɨɛɨɞɧɨ ɢɡɝɢ-
ɛɚɬɶɫɹ, ɬɨ ɟɫɬɶ ɧɟ ɨɤɚɡɵɜɚɟɬ ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɹ ɢɡɦɟɧɟɧɢɸ ɟɺ ɮɨɪɦɵ, ɧɟ ɫɜɹ-
ɡɚɧɧɨɦɭ ɫ ɢɡɦɟɧɟɧɢɟɦ ɞɥɢɧɵ.
Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɧɚɬɹɧɭɬɭɸ ɫɬɪɭɧɭ ɞɥɢɧɵ l, ɡɚɤɪɟɩɥɟɧɧɭɸ ɧɚ ɤɨɧɰɚɯ.
ɉɭɫɬɶ ɜ ɩɨɥɨɠɟɧɢɢ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ ɫɬɪɭɧɚ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɚ ɩɨ ɨɫɢ ɚɛɫɰɢɫɫ Ox ɢɟɟ
ɥɟɜɵɣ ɤɨɧɟɰ ɧɚɯɨɞɢɬɫɹ ɜ ɧɚɱɚɥɟ ɤɨɨɪɞɢɧɚɬ. Ɍɨɝɞɚ ɤɚɠɞɭɸ ɬɨɱɤɭ ɫɬɪɭɧɵ
ɦɨɠɧɨ ɨɯɚɪɚɤɬɟɪɢɡɨɜɚɬɶ ɡɧɚɱɟɧɢɟɦ ɟɟ ɚɛɫɰɢɫɫɵ x.
ȿɫɥɢ ɜɵɜɟɫɬɢ ɫɬɪɭɧɭ ɢɡ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ (ɧɚɩɪɢɦɟɪ
, ɨɬɬɹɧɭɬɶ ɟɟ
ɢ ɨɬɩɭɫɬɢɬɶ ɢɥɢ ɭɞɚɪɢɬɶ ɩɨ ɧɟɣ), ɬɨ ɫɬɪɭɧɚ ɧɚɱɧɟɬ ɤɨɥɟɛɚɬɶɫɹ. Ɇɵ ɛɭɞɟɦ
ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɬɨɥɶɤɨ ɩɨɩɟɪɟɱɧɵɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɫɬɪɭɧɵ, ɬɨ ɟɫɬɶ ɬɚɤɢɟ ɤɨɥɟɛɚ-
ɧɢɹ, ɩɪɢ ɤɨɬɨɪɵɯ ɞɜɢɠɟɧɢɟ ɬɨɱɟɤ ɫɬɪɭɧɵ ɩɪɨɢɫɯɨɞɢɬ ɜ ɨɞɧɨɣ ɩɥɨɫɤɨɫɬɢ
xOu ɢ ɜɫɟ ɬɨɱɤɢ ɞɜɢɠɭɬɫɹ ɩɟɪɩɟɧɞɢɤɭɥɹɪɧɨ ɨɫɢ Ox.
Ɉɛɨɡɧɚɱɢɦ ɱɟɪɟɡ
)
t,
x
(uu
ɜɟɥɢɱɢɧɭ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɹ ɫɬɪɭɧɵ ɨɬ ɩɨɥɨ-
ɠɟɧɢɹ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ ɜ ɬɨɱɤɟ ɫ ɚɛɫɰɢɫɫɨɣ x,
l
x
d
d
0 ɜ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ t ,
ɨɬɫɱɢɬɵɜɚɟɦɭɸ ɜ ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɢɢ ɨɫɢ Ou.
Ɉɱɟɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ ɩɪɢ ɤɚɠɞɨɦ ɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧɧɨɦ
0
tt
ɝɪɚɮɢɤ ɮɭɧɤɰɢɢ
)t,x(u)x(
0
M
ɞɚɟɬ ɮɨɪɦɭ ɫɬɪɭɧɵ ɜ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ
0
t . ɉɪɢ ɮɢɤɫɢɪɨ-
ɜɚɧɧɨɦ ɡɧɚɱɟɧɢɢ
0
xx
ɮɭɧɤɰɢɹ
)t,x(u)t(s
0
ɞɚɟɬ ɡɚɤɨɧ ɞɜɢɠɟɧɢɹ
ɬɨɱɤɢ ɫɬɪɭɧɵ ɫ ɚɛɫɰɢɫɫɨɣ
0
x ɜɞɨɥɶ ɩɪɹɦɨɣ, ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɨɣ ɨɫɢ Ou, ɩɪɨɢɡ-
ɜɨɞɧɚɹ
)t,x(u)t(s
t 0
c
– ɫɤɨɪɨɫɬɶ ɷɬɨɝɨ ɞɜɢɠɟɧɢɹ, ɚ ɜɬɨɪɚɹ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɚɹ
)t,x(u)t(s
tt 0
cc
– ɭɫɤɨɪɟɧɢɟ.
Ɇɵ ɛɭɞɟɦ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɬɨɥɶɤɨ ɦɚɥɵɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ ɫɬɪɭɧɵ, ɬɨ ɟɫɬɶ ɬɚ-
ɤɢɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɹ, ɤɨɝɞɚ ɜɟɥɢɱɢɧɚ
u
ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɞɨɫɬɚɬɨɱɧɨ ɦɚɥɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɢ
ɤɜɚɞɪɚɬɨɦ ɜɟɥɢɱɢɧɵ
x
u ɦɨɠɧɨ ɩɪɟɧɟɛɪɟɱɶ ɩɨ ɫɪɚɜɧɟɧɢɸ ɫ ɟɞɢɧɢɰɟɣ.
Ʌɢɧɟɣɧɨɣ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶɸ ɫɬɪɭɧɵ ɛɭɞɟɦ ɧɚɡɵɜɚɬɶ ɮɭɧɤɰɢɸ
)
x(
U
, ɨɩ-
ɪɟɞɟɥɟɧɧɭɸ ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟ
> @
l,0 ɢ ɨɛɥɚɞɚɸɳɭɸ ɬɟɦ ɫɜɨɣɫɬɜɨɦ, ɱɬɨ ɦɚɫɫɚ
ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɝɨ ɦɚɥɨɝɨ ɭɱɚɫɬɤɚ
>
@
xdx,x
ɫɬɟɪɠɧɹ ɪɚɜɧɚ
x
d
)
x
(
U
(ɢɧɵ-
ɦɢ ɫɥɨɜɚɦɢ, ɜɟɥɢɱɢɧɚ
U
ɪɚɜɧɚ ɦɚɫɫɟ ɫɬɪɭɧɵ, ɩɪɢɯɨɞɹɳɟɣɫɹ ɧɚ ɟɞɢɧɢɰɭ ɟɟ
ɞɥɢɧɵ).
ȼ ɩɪɨɰɟɫɫɟ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɧɚ ɤɚɠɞɵɣ ɭɱɚɫɬɨɤ ɫɬɪɭɧɵ ɞɟɣɫɬɜɭɸɬ ɜɧɟɲɧɢɟ
ɫɢɥɵ, ɧɚɩɪɚɜɥɟɧɧɵɟ ɩɚɪɚɥɥɟɥɶɧɨ ɨɫɢ Ou, ɢ ɫɢɥɵ ɧɚɬɹɠɟɧɢɹ.
       §4. ���������� ��������� ����� ��� �����������
                    ��������� ���������

       ��� ���� �������� � §1, � ��������� ��������� �������� ��������-
������ �������� ������������� ��������� ��������� ���������� �����-
��. ��������� ����� ��������� �������� ��������������� ���� �����
���������� ��������� ������ � ����� ���������� ��������� ��������
�������.
       ��� ������� �������� ������ ����, ������� ����� �������� ����-
������, �� ���� �� ��������� ������������� ��������� �� �����, �� ���-
������� � ���������� �����.
       ���������� ��������� ������ ����� l, ������������ �� ������.
����� � ��������� ���������� ������ ���������� �� ��� ������� Ox � ��
����� ����� ��������� � ������ ���������. ����� ������ ����� ������
����� ���������������� ��������� �� �������� x.
       ���� ������� ������ �� ��������� ���������� (��������, �������� ��
� ��������� ��� ������� �� ���), �� ������ ������ ����������. �� �����
������������� ������ ���������� ��������� ������, �� ���� ����� ������-
���, ��� ������� �������� ����� ������ ���������� � ����� ���������
xOu � ��� ����� �������� ��������������� ��� Ox.
       ��������� ����� u � u ( x , t ) �������� ���������� ������ �� ����-
����� ���������� � ����� � ��������� x, 0 � x � l � ������ ������� t ,
������������� � ����������� ��� Ou.
       ��������, ��� ��� ������ ������������� t � t 0 ������ �������
� ( x ) � u ( x , t 0 ) ���� ����� ������ � ������ ������� t 0 . ��� �������-
������ �������� x � x0 ������� s ( t ) � u ( x 0 , t ) ���� ����� ��������
����� ������ � ��������� x0 ����� ������, ������������ ��� Ou, �����-
������ s�( t ) � ut ( x 0 , t ) – �������� ����� ��������, � ������ �����������
s��( t ) � ut t ( x0 ,t ) – ���������.
       �� ����� ������������� ������ ����� ��������� ������, �� ���� ��-
��� ���������, ����� �������� u ��������� ���������� ����� �������� �
��������� �������� u x ����� ���������� �� ��������� � ��������.
    �������� ���������� ������ ����� �������� ������� � ( x ) , ��-
���������� �� ������� �0 , l � � ���������� ��� ���������, ��� �����
������������� ������ ������� � x , x � d x � ������� ����� � ( x ) d x (���-
�� �������, �������� � ����� ����� ������, ������������ �� ������� ��
�����).
    � �������� ��������� �� ������ ������� ������ ��������� �������
����, ������������ ����������� ��� Ou, � ���� ���������.

                                      15

Страницы