Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

17
ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ ɚɛɫɰɢɫɫɭ
x
(ɫɦɟɳɟɧɢɹ ɨɬɫɱɢɬɵɜɚɸɬɫɹ ɜ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɨɦ ɧɚ-
ɩɪɚɜɥɟɧɢɢ ɨɫɢ Ox). Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɜ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ
t ɤɨɨɪɞɢɧɚɬɚ ɭɤɚ-
ɡɚɧɧɨɣ ɮɢɡɢɱɟɫɤɨɣ ɬɨɱɤɢ ɫɬɟɪɠɧɹ ɪɚɜɧɚ
)
t
,x(ux
.
ɉɭɫɬɶ
> @
xx,x ǻ
– ɧɟɤɨɬɨɪɵɣ ɭɱɚɫɬɨɤ ɫɬɟɪɠɧɹ ɜ ɩɨɥɨɠɟɧɢɢ ɪɚɜɧɨ-
ɜɟɫɢɹ. Ɉɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɵɦ ɭɞɥɢɧɟɧɢɟɦ ɷɬɨɝɨ ɭɱɚɫɬɤɚ ɤ ɦɨɦɟɧɬɭ ɜɪɟɦɟɧɢ t ɧɚ-
ɡɵɜɚɟɬɫɹ ɜɟɥɢɱɢɧɚ
112
l)ll(
, ɝɞɟ
2
l – ɞɥɢɧɚ ɭɱɚɫɬɤɚ ɜ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ
t
,
xl ǻ
1
– ɞɥɢɧɚ ɜ ɩɨɥɨɠɟɧɢɢ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ. ɂɡ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ ɮɭɧɤɰɢɢ
)
t
,x(u ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ
))t,x(ux()t,xx(uxxl ǻǻ
2
)
t,
x
(u
)
t,
x
x
(u
x
ǻǻ ,
ɩɨɷɬɨɦɭ
x
)t,x(u)t,xx(u
l
ll
ǻ
ǻ
1
12
.
ȼ ɩɪɟɞɟɥɟ ɩɪɢ
0
o
x
ǻ (ɬɨ ɟɫɬɶ ɫɱɢɬɚɹ, ɱɬɨ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɵɣ ɭɱɚɫɬɨɤ
ɢɦɟɟɬ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨ ɦɚɥɭɸ ɞɥɢɧɭ) ɩɨɥɭɱɢɦ, ɱɬɨ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨɟ ɭɞɥɢɧɟɧɢɟ
ɫɬɟɪɠɧɹ ɜ ɬɨɱɤɟ x ɜ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ t ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɮɭɧɤɰɢɟɣ
)t,x(u
x
.
ɉɭɫɬɶ
)t,x(T
G
– ɫɢɥɚ ɧɚɬɹɠɟɧɢɹ ɜ ɩɨɩɟɪɟɱɧɨɦ ɫɟɱɟɧɢɢ ɫɬɟɪɠɧɹ, ɨɬ-
ɜɟɱɚɸɳɟɦ ɬɨɱɤɟ
x
, ɜ ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ t , ɢ
)
t
,x(
T
– ɩɪɨɟɤɰɢɹ ɜɟɤɬɨɪɚ
)t,x(T
G
ɧɚ ɨɫɶ Ox. ɋɨɝɥɚɫɧɨ ɡɚɤɨɧɭ Ƚɭɤɚ, ɭɤɚɡɚɧɧɚɹ ɩɪɨɟɤɰɢɹ ɩɪɨɩɨɪɰɢɨ-
ɧɚɥɶɧɚ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨɦɭ ɭɞɥɢɧɟɧɢɸ ɫɬɟɪɠɧɹ ɜ ɷɬɨɣ ɬɨɱɤɟ ɢ ɩɥɨɳɚɞɢ ɟɝɨ
ɩɨɩɟɪɟɱɧɨɝɨ ɫɟɱɟɧɢɹ, ɬɨ ɟɫɬɶ ɢɦɟɟɬ ɦɟɫɬɨ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɟ
,
x
)t,x(u
SE)t,x(T
w
w
(4.3)
ɝɞɟ
)
x
(
– ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɣ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɩɪɨɩɨɪɰɢɨɧɚɥɶɧɨɫɬɢ, ɧɚ-
ɡɵɜɚɟɦɵɣ ɦɨɞɭɥɟɦ ɘɧɝɚ ɜ ɬɨɱɤɟ
x
,
S
– ɩɥɨɳɚɞɶ ɩɨɩɟɪɟɱɧɨɝɨ ɫɟɱɟɧɢɹ
ɫɬɟɪɠɧɹ.
ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɫɨɨɬɧɨɲɟɧɢɟ (4.3), ɦɨɠɧɨ ɩɨɤɚɡɚɬɶ [2, ɝɥ. II, §1], ɱɬɨ ɮɭɧɤ-
ɰɢɹ
)
t,
x
(u ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ
,F
x
u
SE
xt
u
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
w
w
w
w
w
w
2
2
U
lx
0 , 0
!
t
, (4.4)
ɝɞɟ
)
x
(
U
U
– ɥɢɧɟɣɧɚɹ ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ ɫɬɟɪɠɧɹ,
)
t,
x
(FF
– ɩɥɨɬɧɨɫɬɶ
ɜɧɟɲɧɢɯ ɫɢɥ, ɞɟɣɫɬɜɭɸɳɢɯ ɧɚ ɫɬɟɪɠɟɧɶ ɜɞɨɥɶ ɟɝɨ ɨɫɢ.
ȿɫɥɢ ɫɬɟɪɠɟɧɶ ɨɞɧɨɪɨɞɟɧ, ɬɨ ɮɭɧɤɰɢɢ
U
ɢ
ɩɪɢɧɢɦɚɸɬ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɟ
ɡɧɚɱɟɧɢɹ. ȼ ɷɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ (4.4) ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ (4.2), ɝɞɟ
���������� �������� x (�������� ������������� � ������������� ��-
��������� ��� Ox). ����� �������, � ������ ������� t ���������� ���-
������ ���������� ����� ������� ����� x � u ( x , t ) .
      ����� � x , x � �x � – ��������� ������� ������� � ��������� �����-
�����. ������������� ���������� ����� ������� � ������� ������� t ��-
�������� �������� ( l 2 � l1 ) l1 , ��� l 2 – ����� ������� � ������ �������
t , l1 � � x – ����� � ��������� ����������. �� ����������� �������
u ( x , t ) �������, ���
                 l 2 � x � � x � u ( x � � x , t ) � ( x � u ( x , t )) �
                         � � x � u( x � � x , t ) � u ( x , t ) ,
�������
                      l 2 � l1 u ( x � � x , t ) � u ( x , t )
                              �                                .
                          l1              �x
    � ������� ��� � x � 0 (�� ���� ������, ��� ��������������� �������
����� ���������� ����� �����) �������, ��� ������������� ���������
������� � ����� x � ������ ������� t ������������ �������� u x ( x , t ) .
            �
    ����� T ( x , t ) – ���� ��������� � ���������� ������� �������, ��-
�������� ����� x , � ������ ������� t , � T ( x , t ) – �������� �������
�
T ( x , t ) �� ��� Ox. �������� ������ ����, ��������� �������� ���������-
������ �������������� ��������� ������� � ���� ����� � ������� ���
����������� �������, �� ���� ����� ����� �����������
                                           � u( x , t )
                        T( x,t ) � E S                  ,                   (4.3)
                                              �x
��� E � E ( x ) – ������������� ����������� ������������������, ��-
�������� ������� ���� � ����� x , S – ������� ����������� �������
�������.
    ��������� ����������� (4.3), ����� �������� [2, ��. II, §1], ��� ����-
��� u ( x , t ) ������������� ���������

                    �2 u    � �      �u�
                  �      �    �� E S      � � F, 0 � x � l , t � 0,  (4.4)
                    �t 2
                           �x �      � x ��
��� � � � ( x ) – �������� ��������� �������, F � F ( x , t ) – ���������
������� ���, ����������� �� �������� ����� ��� ���.
    ���� �������� ���������, �� ������� � � E ��������� ����������
��������. � ���� ������ ��������� (4.4) ����� �������� � ���� (4.2), ���


                                         17

Страницы