Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

19
Ɍɢɩɢɱɧɵɦ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɬɚɤɠɟ ɭɫɥɨɜɢɟ ɭɩɪɭɝɨɝɨ ɡɚɤɪɟɩɥɟɧɢɹ, ɧɚɩɪɢɦɟɪ,
ɞɥɹ ɤɨɧɰɚ
lx
:
)t,l(u
x
)t,l(u
SE
V
w
w
.
ȼ ɞɚɧɧɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɤɨɧɟɰ
l
x
ɦɨɠɟɬ ɩɟɪɟɦɟɳɚɬɶɫɹ, ɧɨ ɭɩɪɭɝɚɹ ɫɢɥɚ
ɡɚɤɪɟɩɥɟɧɢɹ ɜɵɡɵɜɚɟɬ ɧɚ ɷɬɨɦ ɤɨɧɰɟ ɧɚɬɹɠɟɧɢɟ, ɫɬɪɟɦɹɳɟɟɫɹ ɜɟɪɧɭɬɶ ɫɦɟ-
ɫɬɢɜɲɢɣɫɹ ɤɨɧɟɰ ɜ ɩɪɟɠɧɟɟ ɩɨɥɨɠɟɧɢɟ. ɗɬɚ ɫɢɥɚ, ɫɨɝɥɚɫɧɨ ɡɚɤɨɧɭ Ƚɭɤɚ,
ɩɪɨɩɨɪɰɢɨɧɚɥɶɧɚ ɫɦɟɳɟɧɢɸ
)
t,l(u ; ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɩɪɨɩɨɪɰɢɨɧɚɥɶɧɨɫɬɢ
0
!
V
ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɨɦ ɠɟɫɬɤɨɫɬɢ ɡɚɤɪɟɩɥɟɧɢɹ.
ȿɫɥɢ ɬɨɱɤɚ (ɢɥɢ ɫɢɫɬɟɦɚ), ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɤɨɬɨɪɨɣ ɢɦɟɟɬ ɦɟɫɬɨ ɭɩɪɭɝɨɟ
ɡɚɤɪɟɩɥɟɧɢɟ, ɩɟɪɟɦɟɳɚɟɬɫɹ ɢ ɟɟ ɨɬɤɥɨɧɟɧɢɟ ɨɬ ɧɚɱɚɥɶɧɨɝɨ ɩɨɥɨɠɟɧɢɹ ɜ
ɦɨɦɟɧɬ ɜɪɟɦɟɧɢ t ɪɚɜɧɨ
)
t(
T
, ɬɨ ɤɪɚɟɜɨɟ ɭɫɥɨɜɢɟ ɩɪɢɧɢɦɚɟɬ ɜɢɞ
> @
)t()t,l(u
x
)t,l(u
SE
TV
w
w
. (4.9)
ɍɫɥɨɜɢɟ ɭɩɪɭɝɨɝɨ ɡɚɤɪɟɩɥɟɧɢɹ ɧɚ ɥɟɜɨɦ ɤɨɧɰɟ ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ
> @
)t()t,(u
~
x
)t,(u
SE
KV
w
w
0
0
, (4.10)
ɝɞɟ
0
!
V
~
– ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɠɟɫɬɤɨɫɬɢ ɡɚɤɪɟɩɥɟɧɢɹ ɧɚ ɷɬɨɦ ɤɨɧɰɟ; ɮɭɧɤɰɢɹ
)
t(
ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɚɧɚɥɨɝɢɱɧɨ
)
t(
T
.
ɍɫɥɨɜɢɹ (4.9), (4.10) ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ
)t()t,(uh
x
)t,(u
11
0
0
J
w
w
,
)t()t,l(uh
x
)t,l(u
22
J
w
w
,
ɝɞɟ
0
1
!
E
S
~
h
V
, 0
2
!
E
S
h
V
,
E
S
)t(
~
)t(
V
J
1
,
E
S
)t(
)t(
T
V
J
2
(ɫɪ. ɫ ɭɫɥɨɜɢɹɦɢ (3.7), (3.8)).
ȼɫɟ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɧɵɟ ɜɵɲɟ ɤɪɚɟɜɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ ɞɥɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (4.2) ɦɨɠɧɨ
ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɬɚɤ ɠɟ, ɤɚɤ ɢ ɤɪɚɟɜɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ ɞɥɹ ɨɞɧɨɦɟɪɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɬɟɩɥɨ-
ɩɪɨɜɨɞɧɨɫɬɢ:
)t()t,(u
x
)t,(u
111
0
0
JED
w
w
, 0
!
t , (4.11) 
     �������� �������� ����� ������� �������� �����������, ��������,
��� ����� x � l :
                             � u( l , t )
                                ES        � �� u ( l , t ) .
                                �x
      � ������ ������ ����� x � l ����� ������������, �� ������� ����
����������� �������� �� ���� ����� ���������, ����������� ������� ���-
��������� ����� � ������� ���������. ��� ����, �������� ������ ����,
��������������� �������� u ( l , t ) ; ����������� ������������������
� � 0 ���������� ������������� ��������� �����������.
    ���� ����� (��� �������), ������������ ������� ����� ����� �������
�����������, ������������ � �� ���������� �� ���������� ��������� �
������ ������� t ����� � ( t ) , �� ������� ������� ��������� ���
                                 � u( l , t )
                           ES                 � �� � u ( l , t ) � � ( t )� .    (4.9)
                                    �x
      ������� �������� ����������� �� ����� ����� ����� ���
                               � u( 0 , t ) ~
                        ES                 � � � u ( 0 , t ) � � ( t )� ,       (4.10)
                                  �x
��� �~ � 0 – ����������� ��������� ����������� �� ���� �����; �������
� ( t ) ������������ ���������� � ( t ) .
      ������� (4.9), (4.10) ����� �������� � ����
                              �u( 0 , t )
                                          � h1 u ( 0 , t ) � � 1 ( t ) ,
                                �x
                           �u( l , t )
                                       � h2 u ( l , t ) � � 2 ( t ) ,
                             �x
���
                                    �~                   �
                            h1 �         � 0 , h2 �           � 0,
                                   ES                    ES
                                         �~� ( t )                  ��(t )
                         � 1( t ) � �                , � 2( t ) �
                                           ES                        ES
(��. � ��������� (3.7), (3.8)).
    ��� ������������� ���� ������� ������� ��� ��������� (4.2) �����
�������� ��� ��, ��� � ������� ������� ��� ����������� ��������� �����-
�����������:
                           �u( 0 , t )
                      �1               � �1 u( 0 , t ) � � 1 ( t ) , t � 0 ,    (4.11)
                             �x


                                              19

Страницы