Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

20
)t()t,l(u
x
)t,l(u
222
JED
w
w
, 0
!
t , (4.12)
ɝɞɟ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ
1
D
,
1
E
,
2
D
,
2
E
ɢ ɮɭɧɤɰɢɢ )t(
1
J
, )t(
2
J
ɡɚɞɚɸɬɫɹ ɜ ɫɨ-
ɨɬɜɟɬɫɬɜɢɢ ɫ ɮɨɪɦɭɥɚɦɢ ɜɢɞɚ (4.6) – (4.10) (ɩɪɢ ɷɬɨɦ, ɨɱɟɜɢɞɧɨ, ɜɵɩɨɥɧɹ-
ɸɬɫɹ ɭɫɥɨɜɢɹ
0
2
1
2
1
!
E
D
, 0
2
2
2
2
!
E
D
).
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɫɦɟɲɚɧɧɚɹ ɡɚɞɚɱɚ ɞɥɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ (4.2) ɡɚ-
ɤɥɸɱɚɟɬɫɹ ɜ ɧɚɯɨɠɞɟɧɢɢ ɪɟɲɟɧɢɹ ɷɬɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ, ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɟɝɨ ɧɚ-
ɱɚɥɶɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ (4.5) ɢ ɤɪɚɟɜɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ (4.11), (4.12).
§5. ɇɟɨɞɧɨɪɨɞɧɵɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɫ ɱɚɫɬɧɵɦɢ
ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɦɢ. ɉɪɢɧɰɢɩ Ⱦɸɚɦɟɥɹ
ɉɭɫɬɶ
:
– ɨɛɥɚɫɬɶ ɜ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟ
n
R
ɫ ɝɪɚɧɢɰɟɣ
*
, ɫɨɫɬɨɹɳɟɣ ɢɡ
ɭɱɚɫɬɤɨɜ
Į
ī,,ī !
1
. ɉɭɫɬɶ T – ɡɚɞɚɧɧɨɟ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɨɟ ɱɢɫɥɨ ɢɥɢ
f
ɢ
`
Tt,xR)t,x(Q
n
T
0
1
:
:
– ɰɢɥɢɧɞɪ ɜ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟ
1
n
R
, ɨɫɧɨɜɚɧɢɟɦ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɹɜɥɹɟɬɫɹ
:
. ȼɨɛ-
ɥɚɫɬɢ
T
Q
ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ
)t,x(f)t,x(uA
t
)t,x(u
m
m
w
w
,
T
Q)t,x(
, (5.1)
ɝɞɟ
1
t
m – ɡɚɞɚɧɧɨɟ ɰɟɥɨɟ,
ȝ
t
s
x
rs
m
ȝ
ȝ,stx
DD)x(a)D,D,x(A
¦¦
d
1
0
ɥɢɧɟɣɧɵɣ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɣ ɨɩɟɪɚɬɨɪ, ɩɨɪɹɞɨɤ ɤɨɬɨɪɨɝɨ ɧɟ ɩɪɟɜɨɫɯɨɞɢɬ
1
mr (ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɨɛɨɡɧɚɱɟɧɢɹ ɫɦ. ɜ §1), )x(a
s
P
,
,
)
t
,x(
f
– ɡɚ-
ɞɚɧɧɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ.
Ⱦɥɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (5.1) ɫɬɚɜɹɬɫɹ ɨɞɧɨɪɨɞɧɵɟ ɧɚɱɚɥɶɧɵɟ ɢ ɤɪɚɟɜɵɟ ɭɫɥɨ-
ɜɢɹ:
00
)
,x(u
, 0
0
w
w
t
),x(u
,
!
, 0
0
1
1
w
w
m
m
t
),x(u
,
:
x
, (5.2)
0
)t,x(u)D,x(l
xj,i
,
i
x
*
,
T
x
0 , (5.3)
D
,,!1
i
,
i
rj ,,!1
,
ɝɞɟ
)D,x(l
xj,i
– ɥɢɧɟɣɧɵɟ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɟ ɨɩɟɪɚɬɨɪɵ, 1
t
i
r – ɡɚɞɚɧ-
ɧɵɟ ɰɟɥɵɟ (ɬɨ ɟɫɬɶ ɧɚ ɤɚɠɞɨɦ ɭɱɚɫɬɤɟ
i
*
,
D
,,!1
i
ɝɪɚɧɢɰɵ
*
ɦɨɠɟɬ
ɫɬɚɜɢɬɶɫɹ ɧɟɫɤɨɥɶɤɨ ɤɪɚɟɜɵɯ ɭɫɥɨɜɢɣ, ɫɜɨɢɯ ɞɥɹ ɤɚɠɞɨɝɨ ɭɱɚɫɬɤɚ).
                       � u( l , t )
                           �2       � � 2 u( l , t ) � � 2 ( t ) , t � 0 ,    (4.12)
                           �x
��� ������������ � 1 , � 1 , � 2 , � 2 � ������� � 1 ( t ) , � 2 ( t ) �������� � ��-
���������� � ��������� ���� (4.6) – (4.10) (��� ����, ��������, �������-
���� ������� � 12 � � 12 � 0 , � 22 � � 22 � 0 ).
    ����� �������, ��������� ������ ��� ��������� ��������� (4.2) ��-
��������� � ���������� ������� ����� ���������, ���������������� ��-
������� �������� (4.5) � ������� �������� (4.11), (4.12).


              §5. ������������ ��������� � ��������
                  ������������. ������� �������

    ����� � – ������� � ������������ R n � �������� � , ��������� ��
�������� � 1 ,� , � � . ����� T – �������� ������������� ����� ��� � � �
                 QT � � ( x , t ) � R n� 1 : x � � , 0 � t � T �
– ������� � ������������ R n� 1 , ���������� �������� �������� � . � ��-
����� QT ���������� ���������
                  � m u( x,t )
                               � A u ( x , t ) � f ( x , t ) , ( x , t ) � QT ,       (5.1)
                      �t m
��� m � 1 – �������� �����,
                                                       m �1
                            A ( x , D x , Dt ) �   �� a
                                                   s �r ��0
                                                              s, �   ( x ) D xs Dt�

�������� ���������������� ��������, ������� �������� �� �����������
r � m � 1 (��������������� ����������� ��. � §1), a s , � ( x ) , f ( x , t ) – ��-
������ �������.
     ��� ��������� (5.1) �������� ���������� ��������� � ������� ����-
���:
                           � u ( x ,0 )          � m �1 u ( x , 0 )
        u( x , 0 ) � 0 ,                � 0, � ,                    � 0, x � � ,      (5.2)
                               �t                     � t m �1
                 l i , j ( x , Dx ) u ( x , t ) � 0 , x � � i , 0 � x � T ,           (5.3)

                                i � 1, � , � , j � 1, � , ri ,
��� l i , j ( x , D x ) – �������� ���������������� ���������, ri � 1 – �����-
��� ����� (�� ���� �� ������ ������� � i , i � 1, � , � ������� � �����
��������� ��������� ������� �������, ����� ��� ������� �������).
                                              20

Страницы