Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

22
s
i
,,!1
,
i
rj ,,!1
.
Ɍɨɝɞɚ ɡɚɞɚɱɚ (5.1) – (5.3) ɢɦɟɟɬ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɟ ɤɥɚɫɫɢɱɟɫɤɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ
WWW
d);t,x(v)t,x(u
t
³
0
. (5.9)
Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ
ɉɪɟɞɜɚɪɢɬɟɥɶɧɨ ɧɚɩɨɦɧɢɦ ɫɥɟɞɭɸɳɟɟ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɟ ɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɨ-
ɜɚɧɢɢ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɨɝɨ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ, ɡɚɜɢɫɹɳɟɝɨ ɨɬ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ (ɫɦ., ɧɚɩɪɢɦɟɪ, [1,
§53]):
ɉɭɫɬɶ ɮɭɧɤɰɢɹ
)
,t(
g
W
ɢ ɟɟ ɱɚɫɬɧɚɹ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɚɹ ),t(g
t
W
ɧɟɩɪɟɪɵɜ-
ɧɵ ɜ ɩɪɹɦɨɭɝɨɥɶɧɢɤɟ
> @
>
@
2211
b,ab,a
u
, ɮɭɧɤɰɢɢ
)
(
[
ɢ
)
(
K
ɞɢɮɮɟɪɟɧ-
ɰɢɪɭɟɦɵ ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟ
> @
11
b,a ɢ
22
b)t()t(a
d
d
d
K
[
ɞɥɹ ɜɫɟɯ
> @
11
b,at
.
Ɍɨɝɞɚ ɮɭɧɤɰɢɹ
WW
K
[
d),t(g)t(I
)t(
)t(
³
ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɭɟɦɚ ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟ
>
@
11
b,a ɢ ɟɟ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɚɹ ɪɚɜɧɚ
)t())t(,t(g)t())t(,t(gd),t(g)t(I
)t(
)t(
t
[[KKWW
K
[
c
c
c
³
.
ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɭɤɚɡɚɧɧɨɟ ɩɪɚɜɢɥɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɨɜɚɧɢɹ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɨɝɨ ɢɧ-
ɬɟɝɪɚɥɚ, ɡɚɜɢɫɹɳɟɝɨ ɨɬ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ, ɢ ɧɚɱɚɥɶɧɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ (5.7), ɩɨɥɭɱɚɟɦ
ɫɥɟɞɭɸɳɢɟ ɜɵɪɚɠɟɧɢɹ ɞɥɹ ɱɚɫɬɧɵɯ ɩɪɨɢɡɜɨɞɧɵɯ ɩɨ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ t ɮɭɧɤ-
ɰɢɢ
)
t,
x
(u , ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɦɨɣ ɮɨɪɦɭɥɨɣ (5.9):
W
WW
P
P
P
P
d
t
);t,x(v
t
)t,x(u
t
³
w
w
w
w
0
, 11 -m,, !
P
,
w
w
w
w
w
w
³
1
1
0
0
m
m
t
m
m
m
m
t
)t;,x(v
d
t
);t,x(v
t
)t,x(u
W
WW
(5.10)
)t,x(fd
t
);t,x(v
t
m
m
w
w
³
W
WW
0
.
ɂɡ (5.6), (5.9), (5.10) ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ
w
w
)t,x(uA
t
)t,x(u
m
m
                                               i � 1, � , s , j � 1, � , ri .
       ����� ������ (5.1) – (5.3) ����� ������������ ������������ �������
                       t

                       �
       u ( x , t ) � v ( x , t � � ; � ) d� . (5.9)
                       0


                                                  ��������������

     �������������� �������� ��������� ����������� � ������������-
����� ������������ ���������, ���������� �� ��������� (��., ��������, [1,
§53]):
     ����� ������� g ( t ,� ) � �� ������� ����������� g t ( t ,� ) ��������-
�� � �������������� � a1 , b1 � � � a 2 , b2 �, ������� � ( t ) � � ( t ) ��������-
������� �� ������� � a1 , b1 � � a 2 � � ( t ) � � ( t ) � b2 ��� ���� t � � a1 , b1 � .
����� �������
                                                               �( t )

                                                    I( t ) �    � g ( t , � ) d�
                                                               �(t )

��������������� �� ������� � a1 , b1 � � �� ����������� �����
                       �( t )

          I �( t ) �       �g
                       �(t )
                                t   ( t , � ) d� � g ( t ,� ( t )) � �( t ) � g ( t ,� ( t ))� �( t ) .

     ��������� ��������� ������� ����������������� ������������ ��-
�������, ���������� �� ���������, � ��������� ������� (5.7), ��������
��������� ��������� ��� ������� ����������� �� ���������� t ����-
��� u ( x , t ) , ������������ �������� (5.9):
                                           t
               ��u( x,t )     ��v ( x, t � � ;� )
                 �t �
                          �
                            0
                                     �t�   �      d� , � � 1, � , m - 1 ,

                                       t
            �mu ( x,t )     � mv ( x , t � � ;� )      � m �1v ( x , 0 ; t )
              �t  m
                        �
                          0
                                    �t� m
                                                  d� �
                                                             � t m �1
                                                                             �                            (5.10)
                                           t
                                                � mv ( x , t � � ;� )
                                      �    �
                                           0
                                                        �tm
                                                                      d� � f ( x , t ) .

       �� (5.6), (5.9), (5.10) �������, ���
 � u( x,t )
   m

            � A u( x , t ) �
   �t m

                                                            22

Страницы