Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

23
)t,x(f)t,x(fd);,x(vA
);,x(v
t
t
m
m
»
¼
º
«
¬
ª
w
w
³
WWT
T
WT
WT
0
,
ɬɨ ɟɫɬɶ ɮɭɧɤɰɢɹ
)
t
,x(u ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ (5.1). Ɉɱɟɜɢɞɧɨ ɬɚɤɠɟ,
ɱɬɨ ɷɬɚ ɮɭɧɤɰɢɹ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɧɚɱɚɥɶɧɵɦ ɢ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ (5.2),
(5.3).
Ⱦɨɤɚɠɟɦ ɬɟɩɟɪɶ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɫɬɶ ɪɟɲɟɧɢɹ ɡɚɞɚɱɢ (5.1) – (5.3). ɉɪɟɞɩɨ-
ɥɨɠɢɦ, ɱɬɨ ɷɬɚ ɡɚɞɚɱɚ ɢɦɟɟɬ ɟɳɟ ɨɞɧɨ ɪɟɲɟɧɢɟ
)t,x(u
1
, ɢ ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ
ɮɭɧɤɰɢɸ
)t,x(u)t,x(u)t,x(v
~
1
.
Ɏɭɧɤɰɢɹ
)
t,
x
(v
~
ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɪɟɲɟɧɢɟɦ ɤɪɚɟɜɨɣ ɡɚɞɚɱɢ
0
w
w
)t,x(v
~
A
t
)t,x(v
~
m
m
,
T
Q)t,x(
, (5.11)
00
)
,x(
v
~
, 0
0
w
w
t
),x(v
~
,
!
, 0
0
1
1
w
w
m
m
t
),x(v
~
, (5.12)
:
x
,
0
)t,x(v
~
)D,x(l
xj,i
,
i
x
*
,
x
0 , (5.13)
s
i
,,!1
,
i
rj ,,!1
,
ɤɨɬɨɪɭɸ ɦɨɠɧɨ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɤɚɤ ɱɚɫɬɧɵɣ ɫɥɭɱɚɣ ɡɚɞɚɱɢ (5.6) – (5.8) ɩɪɢ
0
{
)
t,
x
(
f
. Ɉɱɟɜɢɞɧɨ, ɱɬɨ ɪɟɲɟɧɢɟɦ ɡɚɞɚɱɢ (5.11) – (5.13) ɹɜɥɹɟɬɫɹ
ɮɭɧɤɰɢɹ
0
{
)
t
,x(
v
~
, ɢ ɷɬɨ ɪɟɲɟɧɢɟ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨ ɜ ɫɢɥɭ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɫɬɢ
ɪɟɲɟɧɢɹ ɡɚɞɚɱɢ (5.6) – (5.8). Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ,
)t,x(u)t,x(u
1
{
, ɱɬɨ ɢ ɬɪɟ-
ɛɨɜɚɥɨɫɶ ɩɨɤɚɡɚɬɶ. Ɍɟɨɪɟɦɚ ɞɨɤɚɡɚɧɚ.
Ɂɚɦɟɱɚɧɢɟ. ɂɡ ɩɪɢɜɟɞɟɧɧɨɝɨ ɜɵɲɟ ɞɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɚ ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ
ɟɫɥɢ ɩɪɢ ɤɚɠɞɨɦ ɡɧɚɱɟɧɢɢ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ
W
,
W
0
, ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɟɞɢɧɫɬ-
ɜɟɧɧɨɟ ɤɥɚɫɫɢɱɟɫɤɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ
)
;
t
,x(
v
v
W
ɡɚɞɚɱɢ Ʉɨɲɢ
0
w
w
wA
t
w
m
m
,
n
x
,
T
t
0 , (5.6)
00
)
IJ
;,
x
(w ,
0
0
w
w
t
)IJ;,x(w
, ! , 0
0
2
2
w
w
m
m
t
)IJ;,x(w
,
)IJx,(f
t
)IJ;,x(w
m
m
w
w
1
1
0
,
n
x
, (5.7)
ɬɨ ɡɚɞɚɱɚ Ʉɨɲɢ
   t
   � � m v ( x ,� ;� )                       �
���                    � A v ( x ,� ;�      )�          d� � f ( x , t ) � f ( x , t ) ,
 0 �
           �� m                              � � � t ��
�� ���� ������� u ( x , t ) ������������� ��������� (5.1). �������� �����,
��� ��� ������� ������������� ��������� � ��������� �������� (5.2),
(5.3).
     ������� ������ �������������� ������� ������ (5.1) – (5.3). ������-
�����, ��� ��� ������ ����� ��� ���� ������� u 1 ( x , t ) , � ����������
�������
       v~( x , t ) � u ( x , t ) � u1 ( x , t ) .
       ������� v~( x , t ) �������� �������� ������� ������
                           � m v~ ( x , t )
                                            � A v~ ( x , t ) � 0 , ( x , t ) � QT ,           (5.11)
                                 �t m
                                       � v~ ( x , 0 )             � m �1 v~( x , 0 )
                    v~ ( x , 0 ) � 0 ,                � 0, � ,                       � 0,     (5.12)
                                             �t                        � t m �1
                                                                                  x�� ,
                             l ( x , D ) v~ ( x , t ) � 0 , x � � , 0 � x � T ,
                             i,j        x                             i                       (5.13)

                                            i � 1, � , s , j � 1, � , ri ,
������� ����� ������������� ��� ������� ������ ������ (5.6) – (5.8) ���
 f ( x , t ) � 0 . ��������, ��� �������� ������ (5.11) – (5.13) ��������
������� v~( x , t ) � 0 , � ��� ������� ����������� � ���� ��������������
������� ������ (5.6) – (5.8). ����� �������, u( x , t ) � u1 ( x , t ) , ��� � ���-
�������� ��������. ������� ��������.
      � � � � � � � � �. �� ������������ ���� �������������� �������, ���
���� ��� ������ �������� ��������� � , 0 � � � T , ���������� ������-
������ ������������ ������� v � v ( x , t ; � ) ������ ����
                          �m w
                                   � Aw � 0 , x � Rn , 0 � t � T ,                             (5.6)
                           �t m
                                  � w ( x , 0; � )              � m �2 w ( x , 0 ; � )
           w ( x , 0; � ) � 0 ,                    � 0, �,                             � 0,
                                          �t                           � t m �2
                          � m �1 w ( x , 0 ; � )
                                                 � f ( x, � ) , x � R n ,                      (5.7)
                                 � t m �1
�� ������ ����


                                                 23

Страницы