Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

25
Ɂɚɦɟɬɢɦ, ɱɬɨ ɜ ɫɢɥɭ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɫɬɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (6.1) ɢ ɝɪɚɧɢɱɧɵɯ ɭɫɥɨ-
ɜɢɣ (6.2), (6.3), ɤɚɠɞɚɹ ɢɡ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɨɩɪɟɞɟɥɹɟɬɫɹ ɫ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ
ɞɨ ɩɨɫɬɨɹɧɧɨɝɨ ɦɧɨɠɢɬɟɥɹ, ɨɬɥɢɱɧɨɝɨ ɨɬ ɧɭɥɹ (ɬɨ ɟɫɬɶ ɟɫɥɢ
)
x(
X
– ɫɨɛ-
ɫɬɜɟɧɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ, ɬɨ ɮɭɧɤɰɢɹ
)
x
(
X
c , ɝɞɟ 0
z
cons
t
c , ɬɚɤɠɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ
ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɨɣ).
ɋɜɨɣɫɬɜɚ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɢ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ
1. Ʉɚɠɞɨɦɭ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɨɦɭ ɡɧɚɱɟɧɢɸ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɟɬ (ɫ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ
ɞɨ ɩɨɫɬɨɹɧɧɨɝɨ ɦɧɨɠɢɬɟɥɹ, ɨɬɥɢɱɧɨɝɨ ɨɬ ɧɭɥɹ) ɬɨɥɶɤɨ ɨɞɧɚ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɚɹ
ɮɭɧɤɰɢɹ.
Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ
ɉɪɟɞɩɨɥɨɠɢɦ ɩɪɨɬɢɜɧɨɟ: ɩɭɫɬɶ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɨɦɭ ɡɧɚɱɟɧɢɸ
O
ɨɬɜɟɱɚɸɬ
ɞɜɚ ɥɢɧɟɣɧɨ ɧɟɡɚɜɢɫɢɦɵɯ ɪɟɲɟɧɢɹ
)x(X
1
ɢ
)x(X
2
ɤɪɚɟɜɨɣ ɡɚɞɚɱɢ (6.1)
– (6.3). Ɍɨɝɞɚ ɮɭɧɤɰɢɹ
)x(Xc)x(Xc)x(X
2211
,
ɝɞɟ
1
c
ɢ
2
c
– ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɟ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɟ, ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɨɛɳɢɦ ɪɟɲɟɧɢɟɦ ɞɢɮ-
ɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (6.1), ɩɪɢɱɟɦ
)
x(
X
ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦ
ɭɫɥɨɜɢɹɦ (6.2), (6.3). ɗɬɨ ɨɡɧɚɱɚɟɬ, ɱɬɨ ɥɸɛɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (6.1)
ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɭɫɥɨɜɢɹɦ (6.2), (6.3). Ɉɞɧɚɤɨ ɫɪɟɞɢ ɪɟɲɟɧɢɣ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (6.1)
ɡɚɜɟɞɨɦɨ ɟɫɬɶ ɪɟɲɟɧɢɹ, ɧɟ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɢɟ ɷɬɢɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ. ɇɚɩɪɢɦɟɪ,
ɪɟɲɟɧɢɟ
)
x
(
Y
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (6.1), ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɟɟ ɧɚɱɚɥɶɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ
11
00
D
c
)(Y)(Y , ,
ɧɟ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɬ ɝɪɚɧɢɱɧɨɦɭ ɭɫɥɨɜɢɸ (6.2), ɬɚɤ ɤɚɤ
.000
2
1
2
111
!
c
D
D
)(Y)(Y
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɦɵ ɩɨɥɭɱɢɥɢ ɩɪɨɬɢɜɨɪɟɱɢɟ, ɱɬɨ ɢ ɞɨɤɚɡɵɜɚɟɬ ɫɜɨɣɫɬ-
ɜɨ 1.
2. ɉɭɫɬɶ
P
ɢ
Q
– ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ, ɢ
)
x(
X
ɢ
)
x(
Y
– ɨɬɜɟɱɚɸɳɢɟ ɢɦ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ. Ɍɨɝɞɚ
.0
0
³
xd)x(Y)x(X
l
(6.4) 
     �������, ��� � ���� ������������ ��������� (6.1) � ��������� ����-
��� (6.2), (6.3), ������ �� ����������� ������� ������������ � ���������
�� ����������� ���������, ��������� �� ���� (�� ���� ���� X ( x ) – ���-
�������� �������, �� ������� c X ( x ) , ��� c � const � 0 , ����� ��������
�����������).
        �������� ����������� �������� � ����������� �������
     1. ������� ������������ �������� ������������� (� ���������
�� ����������� ���������, ��������� �� ����) ������ ���� �����������
�������.

                             ��������������

     ����������� ���������: ����� ������������ �������� � ��������
��� ������� ����������� ������� X 1 ( x ) � X 2 ( x ) ������� ������ (6.1)
– (6.3). ����� �������
                            X ( x ) � c1 X 1 ( x ) � c2 X 2 ( x ) ,
��� c1 � c 2 – ������������ ����������, �������� ����� �������� ���-
�������������� ��������� (6.1), ������ X ( x ) ������������� ���������
�������� (6.2), (6.3). ��� ��������, ��� ����� ������� ��������� (6.1)
������������� �������� (6.2), (6.3). ������ ����� ������� ��������� (6.1)
�������� ���� �������, �� ��������������� ���� ��������. ��������,
������� Y ( x ) ��������� (6.1), ��������������� ��������� ��������
                           Y ( 0 ) � �1 ,        Y �( 0 ) � � 1 ,
�� ������������� ���������� ������� (6.2), ��� ���
                      � 1 Y �( 0 ) � � 1Y ( 0 ) � � 12 � � 12 � 0.
        ����� �������, �� �������� ������������, ��� � ���������� ������-
�� 1.
    2. ����� � � � – ��������� ����������� ��������, � X ( x ) � Y ( x )
– ���������� �� ����������� �������. �����
                               l

                               � X ( x )Y ( x ) d x � 0.
                               0
                                                                      (6.4)




                                            25

Страницы