Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 27 стр.

UptoLike

Составители: 

27
ɍɤɚɡɚɧɢɟ
. ɉɪɟɞɩɨɥɨɠɢɦ ɩɪɨɬɢɜɧɨɟ: ɩɭɫɬɶ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɤɨɦɩɥɟɤɫɧɨɟ
ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ
K
[
O
i
, ɝɞɟ
R
K
[
, , 0
z
K
, i ɦɧɢɦɚɹ ɟɞɢɧɢɰɚ,
ɢ ɟɦɭ ɨɬɜɟɱɚɟɬ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ
x(
X
. ɉɨɤɚɡɚɬɶ, ɱɬɨ ɱɢɫɥɨ
K
[
O
i
ɬɚɤɠɟ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɦ, ɢ ɟɦɭ ɨɬɜɟɱɚɟɬ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɚɹ
ɮɭɧɤɰɢɹ
)x(X (ɮɭɧɤɰɢɹ, ɤɨɦɩɥɟɤɫɧɨ ɫɨɩɪɹɠɟɧɧɚɹ ɤ
x(
X
). Ⱦɥɹ ɡɚɜɟɪ-
ɲɟɧɢɹ ɞɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɚ ɫɥɟɞɭɟɬ ɜɨɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶɫɹ ɫɜɨɣɫɬɜɨɦ 2 (ɩɪɢ ɷɬɨɦ ɭɱɢ-
ɬɵɜɚɟɬɫɹ, ɱɬɨ
O
O
z
).
ɋɥɟɞɫɬɜɢɟ.
Ʌɸɛɚɹ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ ɫ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ ɞɨ ɩɨɫɬɨ-
ɹɧɧɨɝɨ ɦɧɨɠɢɬɟɥɹ, ɨɬɥɢɱɧɨɝɨ ɨɬ ɧɭɥɹ, ɫɨɜɩɚɞɚɟɬ ɫ ɜɟɳɟɫɬɜɟɧɧɨɡɧɚɱɧɨɣ
ɮɭɧɤɰɢɟɣ.
Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ
ɉɪɟɞɩɨɥɨɠɢɦ, ɱɬɨ ɫɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ
x
(
Z
i
x
(
Y
x
(
X
, ɝɞɟ
x
(
Y
ɢ
x
(
Z
ɜɟɳɟɫɬɜɟɧɧɨɡɧɚɱɧɵɟ ɮɭɧɤ-
ɰɢɢ, ɨɬɥɢɱɧɵɟ ɨɬ ɬɨɠɞɟɫɬɜɟɧɧɨɝɨ ɧɭɥɹ, ɢ ɩɭɫɬɶ ɮɭɧɤɰɢɹ
x(
X
ɨɬɜɟɱɚɟɬ
ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɨɦɭ ɡɧɚɱɟɧɢɸ
O
. ɉɨɞɫɬɚɜɥɹɹ ɜ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ (6.1) – (6.3) ɜɦɟɫɬɨ
x
(
X
ɫɭɦɦɭ
x
(
Z
i
x
(
Y
ɢ ɭɱɢɬɵɜɚɹ, ɱɬɨ ɱɢɫɥɨ
O
ɜɟɳɟɫɬɜɟɧɧɨ, ɥɟɝɤɨ
ɜɢɞɟɬɶ, ɱɬɨ
x(
Y
ɢ
x(
Z
ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɦɢ ɮɭɧɤɰɢɹɦɢ, ɨɬɜɟɱɚɸ-
ɳɢɦɢ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɨɦɭ ɡɧɚɱɟɧɢɸ
O
. ɇɨ ɬɨɝɞɚ, ɜ ɫɢɥɭ ɫɜɨɣɫɬɜɚ 1,
x(
Y
c
x(
Z
, ɝɞɟ 0
z
c ɜɟɳɟɫɬɜɟɧɧɚɹ ɩɨɫɬɨɹɧɧɚɹ (ɱɢɫɥɨ c ɜɟɳɟɫɬ-
ɜɟɧɧɨ, ɬɚɤ ɤɚɤ ɮɭɧɤɰɢɢ
x
(
Y
ɢ
x
(
Z
ɩɪɢɧɢɦɚɸɬ ɜɟɳɟɫɬɜɟɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟ-
ɧɢɹ).
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ,
x(c)
Y
i
(
x(
Z
i
x(
Y
x(
X
1
, ɬɨ ɟɫɬɶ
ɮɭɧɤɰɢɹ
x
(
X
ɫ ɬɨɱɧɨɫɬɶɸ ɞɨ ɩɨɫɬɨɹɧɧɨɝɨ ɦɧɨɠɢɬɟɥɹ c
i
1 ɫɨɜɩɚɞɚɟɬ ɫ
ɜɟɳɟɫɬɜɟɧɧɨɡɧɚɱɧɨɣ ɮɭɧɤɰɢɟɣ
x(
Y
. ɋɥɟɞɫɬɜɢɟ ɞɨɤɚɡɚɧɨ.
ȼ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɦɵ ɛɭɞɟɦ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɬɨɥɶɤɨ ɜɟɳɟɫɬɜɟɧɧɨɡɧɚɱɧɵɟ
ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ.
ɋɥɟɞɭɸɳɟɟ ɫɜɨɣɫɬɜɨ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɢ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ
ɩɪɢɜɟɞɟɦ ɛɟɡ ɞɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɚ.
4.
ɋɭɳɟɫɬɜɭɟɬ ɫɱɟɬɧɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ
n
O
,
,,, !21
n
ɢ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɚɹ ɢɦ ɩɨɫɥɟɞɨɜɚɬɟɥɶɧɨɫɬɶ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ
ɮɭɧɤɰɢɣ
^ `
)x(X
n
. ȼɫɟ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɦɨɠɧɨ ɡɚɧɭɦɟɪɨɜɚɬɶ ɜ ɩɨ-
ɪɹɞɤɟ ɜɨɡɪɚɫɬɚɧɢɹ, ɬɨ ɟɫɬɶ
!!
121 nn
O
O
O
O
,
ɩɪɢɱɟɦ
fo
n
O
ɩɪɢ
fo
n .
ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɫɜɨɣɫɬɜɨ 4 ɢ ɫɥɟɞɫɬɜɢɟ ɢɡ ɫɜɨɣɫɬɜɚ 3, ɫɜɨɣɫɬɜɨ 2 ɦɨɠɧɨ
ɫɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɚɬɶ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ:
    ��������. ����������� ���������: ����� ���������� �����������
����������� �������� � � � � i� , ��� � , � � R , � � 0 , i – ������ �������,
� ��� �������� ����������� ������� X ( x ) . ��������, ��� �����
� � � � i� ����� �������� �����������, � ��� �������� �����������
������� X ( x ) (�������, ���������� ����������� � X ( x ) ). ��� �����-
����� �������������� ������� ��������������� ��������� 2 (��� ���� ���-
��������, ��� � � � ).
    � � � � � � � � �. ����� ����������� ������� � ��������� �� �����-
������ ���������, ��������� �� ����, ��������� � ������������������
��������.
                                ��������������
     �����������,         ���      ����������        �����������      �������
X ( x ) � Y ( x ) � i Z ( x ) , ��� Y ( x ) � Z ( x ) – ������������������ ����-
���, �������� �� �������������� ����, � ����� ������� X ( x ) ��������
������������ �������� � . ���������� � ��������� (6.1) – (6.3) ������
X ( x ) ����� Y ( x ) � i Z ( x ) � ��������, ��� ����� � �����������, �����
������, ��� Y ( x ) � Z ( x ) �������� ������������ ���������, �������-
���� ������������ �������� � . �� �����, � ���� �������� 1,
Z ( x ) � cY ( x ) , ��� c � 0 – ������������ ���������� (����� c ������-
�����, ��� ��� ������� Y ( x ) � Z ( x ) ��������� ������������ �����-
���).
     ����� �������, X ( x ) � Y ( x ) � i Z ( x ) � ( 1 � i c)Y ( x ) , �� ����
������� X ( x ) � ��������� �� ����������� ��������� 1 � i c ��������� �
������������������ �������� Y ( x ) . ��������� ��������.
     � ���������� �� ����� ������������� ������ ������������������
����������� �������.
     ��������� �������� ����������� �������� � ����������� �������
�������� ��� ��������������.
    4. ���������� ������� ��������� ����������� �������� � n ,
n � 1, 2, � , � ��������������� �� ������������������ �����������
������� �X n ( x )� . ��� ����������� �������� ����� ������������ � ��-
����� �����������, �� ����
                          � 1 � � 2 � � � � n � � n� 1 � � ,
������ � n � �� ��� n � � .
    ��������� �������� 4 � ��������� �� �������� 3, �������� 2 �����
�������������� ��������� �������:

                                      27