Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

29
Ɂɚɦɟɧɹɹ ɢɧɞɟɤɫ
m ɧɚ n , ɩɨɥɭɱɢɦ, ɱɬɨ
xd)x(X)x(f
X
f
l
n
n
n
³
0
2
1
, !,, 21
n . (6.12)
Ʌɟɦɦɚ.
ɉɭɫɬɶ
)
x(
X
– ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɨɟ ɜɟɳɟɫɬɜɟɧɧɨɡɧɚɱɧɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ
ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (6.1). Ɍɨɝɞɚ ɢɦɟɟɬ ɦɟɫɬɨ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ
³
c
c
c
l
xd)x(X)(X)(X)l(X)l(XX
0
2
2
00
O
. (6.13)
Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ
Ȼɭɞɟɦ ɫɱɢɬɚɬɶ, ɱɬɨ ɮɭɧɤɰɢɹ
)
x(
X
ɨɬɥɢɱɧɚ ɨɬ ɬɨɠɞɟɫɬɜɟɧɧɨɝɨ ɧɭɥɹ
(ɜ ɩɪɨɬɢɜɧɨɦ ɫɥɭɱɚɟ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ (6.13) ɨɱɟɜɢɞɧɨ). ɍɦɧɨɠɚɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ (6.1)
ɧɚ
)
x(
X
ɢ ɢɧɬɟɝɪɢɪɭɹ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɟ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɩɨ ɨɬɪɟɡɤɭ ],[ l0 , ɢɦɟɟɦ:
0
0
2
0
cc
³³
xd)x(Xxd)x(X)x(X
ll
O
.
ɉɪɨɢɡɜɨɞɹ ɜ ɩɟɪɜɨɦ ɫɥɚɝɚɟɦɨɦ ɜ ɥɟɜɨɣ ɱɚɫɬɢ ɷɬɨɝɨ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ ɢɧɬɟɝ-
ɪɢɪɨɜɚɧɢɟ ɩɨ ɱɚɫɬɹɦ, ɩɨɥɭɱɢɦ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ (6.13). Ʌɟɦɦɚ ɞɨɤɚɡɚɧɚ.
ɋɥɟɞɫɬɜɢɟ.
ȿɫɥɢ ɥɸɛɚɹ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ
)
x(
X
ɡɚɞɚɱɢ
ɒɬɭɪɦɚ-Ʌɢɭɜɢɥɥɹ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɭɫɥɨɜɢɸ
000
t
c
c
)
(
X
)
(
X
)
l(
X
)
l(
X
, (6.14)
ɬɨ ɥɸɛɨɟ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ
O
ɧɟɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɨ.
Ⱦɚɧɧɨɟ ɭɬɜɟɪɠɞɟɧɢɟ ɧɟɩɨɫɪɟɞɫɬɜɟɧɧɨ ɜɵɬɟɤɚɟɬ ɢɡ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ (6.13).
ȼ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɦɵ ɛɭɞɟɦ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɬɨɥɶɤɨ ɝɪɚɧɢɱɧɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ
(6.2), (6.3) ɫɩɟɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɜɢɞɚ (ɬɨ ɟɫɬɶ ɧɚɤɥɚɞɵɜɚɬɶ ɞɨɩɨɥɧɢɬɟɥɶɧɵɟ ɨɝɪɚ-
ɧɢɱɟɧɢɹ ɧɚ ɱɢɫɥɚ
1
D
,
1
,
2
D
,
2
). Ⱥ ɢɦɟɧɧɨ, ɦɵ ɛɭɞɟɦ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɬɶ ɫɥɟ-
ɞɭɸɳɢɟ ɬɢɩɵ ɝɪɚɧɢɱɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɣ:
I.
00
)
(
X
,
0
)
l(
X
;
II.
000
1
c
)(Xh)(X
, 0
)
l(
X
;
III.
00
)
(
X
, 0
2
c
)l(Xh)l(X ;
IV.
000
1
c
)(Xh)(X , 0
2
c
)l(Xh)l(X ,
ɝɞɟ
0
1
t
h
ɢ
0
2
t
h
– ɡɚɞɚɧɧɵɟ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɟ.
Ʉ ɡɚɞɚɱɟ ɒɬɭɪɦɚ-Ʌɢɭɜɢɥɥɹ ɫ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦɢ ɭɫɥɨɜɢɹɦɢ ɢɦɟɧɧɨ ɬɚɤɨɝɨ
ɜɢɞɚ ɩɪɢɜɨɞɢɬ ɪɟɲɟɧɢɟ ɦɧɨɝɢɯ ɡɚɞɚɱ ɦɚɬɟɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɮɢɡɢɤɢ, ɢ, ɜ ɱɚɫɬɧɨ-
ɫɬɢ, ɫɦɟɲɚɧɧɵɯ ɡɚɞɚɱ, ɨɩɢɫɵɜɚɸɳɢɯ ɩɪɨɰɟɫɫ ɪɚɫɩɪɨɫɬɪɚɧɟɧɢɹ ɬɟɩɥɚ ɜ
    ������� ������ m �� n , �������, ���
                                               l
                                       1
                              fn �
                                     Xn
                                           2   � f ( x )X
                                               0
                                                            n   ( x ) d x , n � 1, 2, � .   (6.12)

    � � � � �. ����� X ( x ) – ������������ ������������������ �������
��������� (6.1). ����� ����� ����� ���������
                                                                         l

                          � � X �( l ) X ( l ) � X �( 0 ) X ( 0 ) � � � X �( x )� d x . (6.13)
                      2                                                              2
              � X
                                                                         0

                                     ��������������
     ����� �������, ��� ������� X ( x ) ������� �� �������������� ����
(� ��������� ������ ��������� (6.13) ��������). ������� ��������� (6.1)
�� X ( x ) � ���������� ���������� ��������� �� ������� [ 0, l ] , �����:
                          l                             l

                          �
                          0
                              X ��( x ) X ( x ) d x � � � X 2 ( x ) d x � 0 .
                                                        0

    ��������� � ������ ��������� � ����� ����� ����� ��������� �����-
��������� �� ������, ������� ��������� (6.13). ����� ��������.
    � � � � � � � � �. ���� ����� ����������� ������� X ( x ) ������
������-�������� ������������� �������
                              � X �( l ) X ( l ) � X �( 0 ) X ( 0 ) � 0 ,                   (6.14)
�� ����� ����������� �������� � ��������������.
      ������ ����������� ��������������� �������� �� ��������� (6.13).
     � ���������� �� ����� ������������� ������ ��������� �������
(6.2), (6.3) ������������ ���� (�� ���� ����������� �������������� ����-
������� �� ����� � 1 , � 1 , � 2 , � 2 ). � ������, �� ����� ������������� ���-
������ ���� ��������� �������:
      I. X ( 0 ) � 0 , X ( l ) � 0 ;
      II. X �( 0 ) � h 1 X ( 0 ) � 0 , X ( l ) � 0 ;

      III. X ( 0 ) � 0 , X �( l ) � h 2 X ( l ) � 0 ;

      IV. X �( 0 ) � h 1 X ( 0 ) � 0 , X �( l ) � h 2 X ( l ) � 0 ,
��� h 1 � 0 � h 2 � 0 – �������� ����������.
     � ������ ������-�������� � ���������� ��������� ������ ������
���� �������� ������� ������ ����� �������������� ������, �, � ������-
���, ��������� �����, ����������� ������� ��������������� ����� �

                                                   29

Страницы