Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

30
ɫɬɟɪɠɧɟ, ɢ ɡɚɞɚɱ, ɨɩɢɫɵɜɚɸɳɢɯ ɩɪɨɰɟɫɫɵ ɦɚɥɵɯ ɩɨɩɟɪɟɱɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ
ɫɬɪɭɧɵ ɢ ɩɪɨɞɨɥɶɧɵɯ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ ɫɬɟɪɠɧɹ (ɫɦ. §§3, 4).
Ʌɟɝɤɨ ɜɢɞɟɬɶ, ɱɬɨ ɜ ɫɥɭɱɚɟ ɝɪɚɧɢɱɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɣ ɜɢɞɚ I – IV ɧɟɪɚɜɟɧɫɬɜɨ
(6.14) ɜɵɩɨɥɧɟɧɨ (ɩɪɨɜɟɪɢɬɶ ɷɬɨ ɫɚɦɨɫɬɨɹɬɟɥɶɧɨ). ɉɨɷɬɨɦɭ, ɜ ɫɢɥɭ ɫɥɟɞɫɬ-
ɜɢɹ ɢɡ ɩɪɢɜɟɞɟɧɧɨɣ ɜɵɲɟ ɥɟɦɦɵ, ɥɸɛɨɟ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɡɚɞɚɱɢ
ɒɬɭɪɦɚ-Ʌɢɭɜɢɥɥɹ ɫ ɭɤɚɡɚɧɧɵɦɢ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦɢ ɭɫɥɨɜɢɹɦɢ ɧɟɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɨ.
Ⱦɚɥɟɟ, ɢɡ (6.13) ɢ
(6.14) ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ
O
ɪɚɜɧɨ ɧɭɥɸ
ɬɨɝɞɚ ɢ ɬɨɥɶɤɨ ɬɨɝɞɚ, ɤɨɝɞɚ
000
c
c
)
(
X
)
(
X
)
l(
X
)
l(
X
(6.15)
ɢ
0
0
2
c
³
l
xd)x(X . (6.16)
ɂɡ (6.16) ɜɵɬɟɤɚɟɬ, ɱɬɨ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ
)
x
(
X
, ɨɬɜɟɱɚɸɳɚɹ ɫɨɛ-
ɫɬɜɟɧɧɨɦɭ ɡɧɚɱɟɧɢɸ
0
O
, ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɩɨɫɬɨɹɧɧɨɣ: 0
z{
cons
t
)
x
(
X
; ɩɪɢ
ɷɬɨɦ ɭɫɥɨɜɢɟ (6.15) ɜɵɩɨɥɧɹɟɬɫɹ ɚɜɬɨɦɚɬɢɱɟɫɤɢ. Ɂɚɦɟɬɢɦ, ɧɚɤɨɧɟɰ, ɱɬɨ
ɫɪɟɞɢ ɭɫɥɨɜɢɣ I – IV ɢɦɟɟɬɫɹ ɬɨɥɶɤɨ ɨɞɢɧ ɬɢɩ ɝɪɚɧɢɱɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɣ, ɤɨɬɨ-
ɪɵɦ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɮɭɧɤɰɢɹ
0
cons
t
)
x
(
X
, ɚ ɢɦɟɧɧɨ
00
c
)
(
X
, 0
c
)
l(
X
(6.17)
(ɱɚɫɬɧɵɣ ɫɥɭɱɚɣ ɭɫɥɨɜɢɣ IV ɩɪɢ
0
21
hh ).
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɨ ɫɥɟɞɭɸɳɟɟ ɫɜɨɣɫɬɜɨ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɡɧɚɱɟ-
ɧɢɣ ɢ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ.
6.
ȿɫɥɢ ɝɪɚɧɢɱɧɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ ɜ ɡɚɞɚɱɟ ɒɬɭɪɦɚ-Ʌɢɭɜɢɥɥɹ ɨɬɧɨɫɹɬɫɹ ɤ
ɨɞɧɨɦɭ ɢɡ ɬɢɩɨɜ I – IV, ɬɨ ɜɫɟ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɧɟɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵ.
ɇɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɪɚɜɧɨ ɧɭɥɸ ɬɨɝɞɚ ɢ ɬɨɥɶɤɨ ɬɨɝɞɚ, ɤɨ-
ɝɞɚ ɝɪɚɧɢɱɧɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ ɢɦɟɸɬ ɜɢɞ (6.17). ɇɭɥɟɜɨɦɭ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɨɦɭ ɡɧɚɱɟɧɢɸ
ɨɬɜɟɱɚɟɬ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ
0
z
{
const
)
x(
X
.
ɋɥɟɞɫɬɜɢɟ.
ȼ ɫɥɭɱɚɟ ɝɪɚɧɢɱɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɣ ɜɢɞɚ I – IV, ɨɬɥɢɱɧɵɯ ɨɬ
ɭɫɥɨɜɢɣ (6.17), ɜɫɟ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵ.
ɇɚɣɞɟɦ ɬɟɩɟɪɶ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɢ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɡɚɞɚɱɢ
(6.1) – (6.3) ɫ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦɢ ɭɫɥɨɜɢɹɦɢ ɜɢɞɚ I – IV. ɉɪɢ ɷɬɨɦ ɦɵ ɛɭɞɟɦ ɪɚɡ-
ɥɢɱɚɬɶ ɫɥɭɱɚɢ ɝɪɚɧɢɱɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɣ II – IV, ɤɨɝɞɚ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɟ
1
h ɢ (ɢɥɢ)
2
h
ɪɚɜɧɵ ɧɭɥɸ, ɢ ɤɨɝɞɚ ɨɧɢ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵ. Ⱥ ɢɦɟɧɧɨ, ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɥɟɞɭɸ-
ɳɢɟ 9 ɬɢɩɨɜ ɝɪɚɧɢɱɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɣ:
I.
00
)
(
X
, 0
)
l(
X
;
II . ɚ)
00
c
)
(
X
, 0
)
l(
X
( 0
1
h );
�������, � �����, ����������� �������� ����� ���������� ���������
������ � ���������� ��������� ������� (��. §§3, 4).
     ����� ������, ��� � ������ ��������� ������� ���� I – IV �����������
(6.14) ��������� (��������� ��� ��������������). �������, � ���� ������-
��� �� ����������� ���� �����, ����� ����������� �������� ������
������-�������� � ���������� ���������� ��������� ��������������.
�����, �� (6.13) � (6.14) �������, ��� ����������� �������� � ����� ����
����� � ������ �����, �����

                          � X �( l ) X ( l ) � X �( 0 ) X ( 0 ) � 0   (6.15)
�
                                      l

                                      � � X �( x )� d x � 0 .
                                                    2
                                                                      (6.16)
                                      0

    �� (6.16) ��������, ��� ����������� ������� X ( x ) , ���������� ���-
��������� �������� � � 0 , �������� ����������: X ( x ) � const � 0 ; ���
���� ������� (6.15) ����������� �������������. �������, �������, ���
����� ������� I – IV ������� ������ ���� ��� ��������� �������, ����-
��� ������������� ������� X ( x ) � const � 0 , � ������
                             X �( 0 ) � 0 , X �( l ) � 0              (6.17)
(������� ������ ������� IV ��� h 1 � h2 � 0 ).
     ����� �������, ����������� ��������� �������� ����������� �����-
��� � ����������� �������.
     6. ���� ��������� ������� � ������ ������-�������� ��������� �
������ �� ����� I – IV, �� ��� ����������� �������� ��������������.
���������� ����������� �������� ����� ���� ����� � ������ �����, ��-
��� ��������� ������� ����� ��� (6.17). �������� ������������ ��������
�������� ����������� ������� X ( x ) � const � 0 .
     � � � � � � � � �. � ������ ��������� ������� ���� I – IV, �������� ��
������� (6.17), ��� ����������� �������� ������������.
     ������ ������ ����������� �������� � ����������� ������� ������
(6.1) – (6.3) � ���������� ��������� ���� I – IV. ��� ���� �� ����� ���-
������ ������ ��������� ������� II – IV, ����� ���������� h 1 � (���) h 2
����� ����, � ����� ��� ������������. � ������, ���������� ������-
��� 9 ����� ��������� �������:
     I. X ( 0 ) � 0 , X ( l ) � 0 ;
     II . �) X �( 0 ) � 0 , X ( l ) � 0 ( h 1 � 0 );


                                               30

Страницы