Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

28
2'. ɉɭɫɬɶ
n
O
ɢ
m
O
,
mn
z
– ɪɚɡɥɢɱɧɵɟ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɜ ɡɚɞɚ-
ɱɟ ɒɬɭɪɦɚ-Ʌɢɭɜɢɥɥɹ ɢ
)x(X
n
ɢ )x(X
m
– ɨɬɜɟɱɚɸɳɢɟ ɢɦ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɟ
ɮɭɧɤɰɢɢ. Ɍɨɝɞɚ ɮɭɧɤɰɢɢ
)x(X
n
ɢ )x(X
m
ɨɪɬɨɝɨɧɚɥɶɧɵ ɜ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟ
)l,(L 0
2
(ɫɦ. §1, ɩ. 3), ɬɨ ɟɫɬɶ
³
l
mn
xd)x(X)x(X
0
0 .
Ɇɨɠɧɨ ɞɚɬɶ ɢ ɛɨɥɟɟ ɤɨɪɨɬɤɭɸ ɮɨɪɦɭɥɢɪɨɜɤɭ ɷɬɨɝɨ ɫɜɨɣɫɬɜɚ:
2". ɋɨɛɫɬɜɟɧɧɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɡɚɞɚɱɢ ɒɬɭɪɦɚ-Ʌɢɭɜɢɥɥɹ, ɨɬɜɟɱɚɸɳɢɟ
ɪɚɡɥɢɱɧɵɦ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɦ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦ, ɨɪɬɨɝɨɧɚɥɶɧɵ ɜ ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟ
)l,(L 0
2
.
ɋɜɨɣɫɬɜɨ 2 ɧɚɡɵɜɚɸɬ ɨɛɵɱɧɨ ɫɜɨɣɫɬɜɨɦ ɨɪɬɨɝɨɧɚɥɶɧɨɫɬɢ ɫɨɛɫɬɜɟɧ-
ɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɜ ɡɚɞɚɱɟ ɒɬɭɪɦɚ-Ʌɢɭɜɢɥɥɹ.
ɉɪɢɜɟɞɟɦ ɬɟɩɟɪɶ ɛɟɡ ɞɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɚ ɨɞɧɨ ɢɡ ɨɫɧɨɜɧɵɯ ɫɜɨɣɫɬɜ ɫɨɛɫɬ-
ɜɟɧɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɡɚɞɚɱɢ ɒɬɭɪɦɚ-Ʌɢɭɜɢɥɥɹ.
5. (Ɍɟɨɪɟɦɚ ȼ. Ⱥ. ɋɬɟɤɥɨɜɚ).
ȿɫɥɢ ɮɭɧɤɰɢɹ
)
x
(
f
ɞɜɚɠɞɵ ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɨ
ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɪɭɟɦɚ ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟ
],[ l0 ɢ ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɟɬ ɨɞɧɨɪɨɞɧɵɦ ɝɪɚɧɢɱ-
ɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ
000
11
c
)(f)(f
E
,
0
22
c
)l(f)l(f
E
D
,
ɬɨ ɨɧɚ ɦɨɠɟɬ ɛɵɬɶ ɪɚɡɥɨɠɟɧɚ ɜ ɚɛɫɨɥɸɬɧɨ ɢ ɪɚɜɧɨɦɟɪɧɨ ɫɯɨɞɹɳɢɣɫɹ ɧɚ
ɨɬɪɟɡɤɟ
],[ l0 ɪɹɞ ɩɨ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɦ ɮɭɧɤɰɢɹɦ ɡɚɞɚɱɢ ɒɬɭɪɦɚ-Ʌɢɭɜɢɥɥɹ:
¦
f
1n
nn
)x(Xf)x(f . (6.11)
Ɋɚɡɥɨɠɟɧɢɟ (6.11) ɧɚɡɵɜɚɟɬɫɹ
ɪɹɞɨɦ Ɏɭɪɶɟ ɮɭɧɤɰɢɢ
)
x
(
f
ɩɨ ɫɢɫɬɟ-
ɦɟ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ
^ `
)x(X
n
, ɚ ɱɢɫɥɚ
n
f , !,, 21
n – ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧ-
ɬɚɦɢ Ɏɭɪɶɟ
ɷɬɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ.
Ʉɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ Ɏɭɪɶɟ ɮɭɧɤɰɢɢ
)
x
(
f
ɦɨɠɧɨ ɜɵɱɢɫɥɢɬɶ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ
ɨɛɪɚɡɨɦ. ɍɦɧɨɠɢɦ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ (6.11) ɧɚ ɮɭɧɤɰɢɸ
)x(X
m
, ɝɞɟ ɧɨɦɟɪ m
(
1
t
m ) ɮɢɤɫɢɪɨɜɚɧ, ɢ ɩɪɨɢɧɬɟɝɪɢɪɭɟɦ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɟ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɩɨ ɨɬɪɟɡɤɭ
],[ l0 . Ɍɨɝɞɚ, ɢɫɩɨɥɶɡɭɹ ɫɜɨɣɫɬɜɨ ɨɪɬɨɝɨɧɚɥɶɧɨɫɬɢ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ,
ɧɚɯɨɞɢɦ, ɱɬɨ
2
0
2
0
mm
l
mm
l
m
Xfxd)x(Xfxd)x(X)x(f
³³
,
!,, 21
m
. 
     2' . ����� � n � � m , n � m – ��������� ����������� �������� � ����-
�� ������-�������� � X n ( x ) � X m ( x ) – ���������� �� �����������
�������. ����� ������� X n ( x ) � X m ( x ) ������������ � ������������
L 2 ( 0 , l ) (��. §1, �. 3), �� ����
                                    l

                                   �X
                                    0
                                            n   ( x ) X m ( x )d x � 0 .

    ����� ���� � ����� �������� ������������ ����� ��������:
      2" . ����������� ������� ������ ������-��������, ����������
��������� ����������� ���������, ������������ � ������������
L2 ( 0 , l ) .
     �������� 2 �������� ������ ��������� ��������������� ��������-
��� ������� � ������ ������-��������.
     �������� ������ ��� �������������� ���� �� �������� ������� �����-
������ ������� ������ ������-��������.
    5. (������� �. �. ��������). ���� ������� f ( x ) ������ ����������
��������������� �� ������� [ 0, l ] � ������������� ���������� ������-
��� ��������
                                � 1 f �( 0 ) � � 1 f ( 0 ) � 0 ,
                                 � 2 f �( l ) � � 2 f ( l ) � 0 ,
�� ��� ����� ���� ��������� � ��������� � ���������� ���������� ��
������� [ 0, l ] ��� �� ����������� �������� ������ ������-��������:
                                                    �
                                  f ( x ) � � fn X n ( x ).                                  (6.11)
                                                   n �1

       ���������� (6.11) ���������� ����� ����� ������� f ( x ) �� �����-
�� ����������� ������� �X n ( x )� , � ����� f n , n � 1, 2, � – ����������-
���� ����� ���� �������.
       ������������ ����� ������� f ( x ) ����� ��������� ���������
�������. ������� ��������� (6.11) �� ������� X m ( x ) , ��� ����� m
( m � 1 ) ����������, � �������������� ���������� ��������� �� �������
[ 0, l ] . �����, ��������� �������� ��������������� ����������� �������,
�������, ���
      l                                 l

      � f ( x )X       ( x ) d x � f m � X m2 ( x ) d x � f m X m
                                                                           2
                   m                                                           , m � 1, 2, � .
      0                                 0




                                                    28

Страницы