Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

26
Ⱦɨɤɚɡɚɬɟɥɶɫɬɜɨ
ɉɨ ɭɫɥɨɜɢɸ, ɮɭɧɤɰɢɢ
)
x
(
X
ɢ
)
x
(
Y
ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɧɟɬɪɢɜɢɚɥɶɧɵɦɢ ɪɟ-
ɲɟɧɢɹɦɢ ɤɪɚɟɜɵɯ ɡɚɞɚɱ
0
cc
)
x
(
X
)
x
(
X
P
, l
x
0 , (6.5)
000
11
c
)(X)(X
E
, (6.6)
0
22
c
)l(X)l(X
E
, (6.7)
ɢ
0
cc
)
x(
Y
)
x(
Y
Q
, lx
0 , )'6.5(
000
11
c
)(Y)(Y
E
, )'6.6(
0
22
c
)l(Y)l(Y
E
D
. )'6.7(
ɍɦɧɨɠɚɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ (6.5) ɧɚ ɮɭɧɤɰɢɸ
)
x(
Y
, ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ )'6.5( ɧɚ
ɮɭɧɤɰɢɸ
)
x
(
X
ɢ ɜɵɱɢɬɚɹ ɢɡ ɨɞɧɨɝɨ ɩɨɥɭɱɢɜɲɟɝɨɫɹ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ ɞɪɭɝɨɟ,
ɢɦɟɟɦ:
.0
c
c
cc
)
x(
Y
)
x(
X
)
Ȟ
ȝ
(
)
x(
Y
)
x(
X
)
x(
X
)
xY(
(6.8)
Ɋɚɜɟɧɫɬɜɨ (6.8) ɦɨɠɧɨ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ
> @
.0
c
c
)x(Y)x(X)Ȟȝ()x(Y)x(X)x(X)x(Y
dx
d
(6.9)
ɂɧɬɟɝɪɢɪɭɹ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ (6.9) ɩɨ ɨɬɪɟɡɤɭ
],[ l0 , ɧɚɯɨɞɢɦ, ɱɬɨ
c
c
³
)l(Y)l(X)x(X)l(Yxd)x(Y)x(X)(
l
0
PQ
)
(
Y
)
(
X
)
(
X
)
(
Y
0000
c
c
. (6.10)
ɍɩɪɚɠɧɟɧɢɟ 1
. ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɭɫɥɨɜɢɹ (6.6), (6.7), )'6.6(, )'6.7(, ɚ ɬɚɤɠɟ
ɭɫɥɨɜɢɹ
0
2
1
2
1
!
E
, 0
2
2
2
2
!
E
, ɩɨɤɚɡɚɬɶ, ɱɬɨ ɩɪɚɜɚɹ ɱɚɫɬɶ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ
(6.10) ɪɚɜɧɚ ɧɭɥɸ.
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɦɵ ɩɨɥɭɱɢɥɢ, ɱɬɨ
0
0
³
l
xd)x(Y)x(X)(
PQ
.
Ɍɚɤ ɤɚɤ
Q
P
z
, ɬɨ ɨɬɫɸɞɚ ɫɥɟɞɭɟɬ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ (6.4). ɋɜɨɣɫɬɜɨ 2 ɞɨɤɚɡɚ-
ɧɨ.
3.
ȼɫɟ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɜɟɳɟɫɬɜɟɧɧɵ.
ɍɩɪɚɠɧɟɧɢɟ 2
. Ⱦɨɤɚɡɚɬɶ ɫɜɨɣɫɬɜɨ 3. 
                               ��������������

    �� �������, ������� X ( x ) � Y ( x ) �������� �������������� ��-
������� ������� �����
                             X ��( x ) � � X ( x ) � 0 , 0 � x � l ,                   (6.5)
                             � 1 X �( 0 ) � � 1 X ( 0 ) � 0 ,                          (6.6)
                             � 2 X �( l ) � � 2 X ( l ) � 0 ,                          (6.7)
�
                             Y ��( x ) � � Y ( x ) � 0 , 0 � x � l ,                  (6.5' )
                             � 1 Y �( 0 ) � � 1 Y ( 0 ) � 0 ,                         (6.6' )
                             � 2 Y �( l ) � � 2 Y ( l ) � 0 .                         (6.7' )
    ������� ��������� (6.5) �� ������� Y ( x ) , ��������� (6.5' ) ��
������� X ( x ) � ������� �� ������ ������������� ��������� ������,
�����:
                 Y( x )X ��( x ) � X ( x )Y ��( x ) � ( � � � ) X ( x )Y ( x ) � 0. (6.8)
      ��������� (6.8) ����� �������� � ����
            d
               �Y ( x ) X �( x ) � X ( x )Y �( x )� � ( � � � ) X ( x )Y ( x ) � 0. (6.9)
            dx
      ���������� ��������� (6.9) �� ������� [ 0, l ] , �������, ���
                         l

               (� � � ) � X ( x )Y ( x ) d x � Y ( l ) X �( x ) � X ( l )Y �( l ) �
                         0

                             � Y ( 0 ) X �( 0 ) � X ( 0 )Y �( 0 ) .                   (6.10)
      ���������� 1. ��������� ������� (6.6), (6.7), (6.6' ) , (6.7' ) , � �����
������� � 12 � � 12 � 0 , � 22 � � 22 � 0 , ��������, ��� ������ ����� ���������
(6.10) ����� ����.
     ����� �������, �� ��������, ���
                                          l

                              (� � � ) � X ( x )Y ( x ) d x � 0 .
                                          0
      ��� ��� � � � , �� ������ ������� ��������� (6.4). �������� 2 ������-
��.
      3. ��� ����������� �������� �����������.
      ���������� 2. �������� �������� 3.

                                              26

Страницы