Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

24
)t,x(f)t,x(uA
t
)t,x(u
m
m
w
w
,
n
R
x
,
T
t
0 ,
00
)
,
x
(u , 0
0
w
w
t
),x(u
, ! , 0
0
1
1
w
w
m
m
t
),x(u
,
n
R
x
,
ɢɦɟɟɬ ɟɞɢɧɫɬɜɟɧɧɨɟ ɤɥɚɫɫɢɱɟɫɤɨɟ ɪɟɲɟɧɢɟ
IJd)IJ;IJt,x(w)t,x(u
t
³
0
.
Ɍɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ, ɩɪɢɧɰɢɩ Ⱦɸɚɦɟɥɹ ɩɨɡɜɨɥɹɟɬ ɫɜɨɞɢɬɶ ɪɟɲɟɧɢɟ ɢɫɯɨɞ-
ɧɨɣ ɤɪɚɟɜɨɣ ɡɚɞɚɱɢ ɞɥɹ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɫ
ɨɞɧɨɪɨɞɧɵɦɢ ɧɚɱɚɥɶɧɵɦɢ ɭɫɥɨɜɢɹɦɢ ɤ ɪɟɲɟɧɢɸ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɟɣ ɡɚɞɚɱɢ
ɞɥɹ ɨɞɧɨɪɨɞɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɫ ɧɟɨɞɧɨɪɨɞɧɵɦɢ ɧɚɱɚɥɶɧɵɦɢ ɭɫɥɨɜɢɹɦɢ, ɤɨ-
ɬɨɪɚɹ ɨɛɵɱɧɨ ɩɪɨɳɟ, ɱɟɦ ɢɫɯɨɞɧɚɹ ɡɚɞɚɱɚ.
§6. Ɂɚɞɚɱɚ ɒɬɭɪɦɚ-Ʌɢɭɜɢɥɥɹ
Ɂɚɞɚɱɚ ɒɬɭɪɦɚ-Ʌɢɭɜɢɥɥɹ ɜɨɡɧɢɤɚɟɬ ɩɪɢ ɪɟɲɟɧɢɢ ɦɧɨɝɢɯ ɡɚɞɚɱ ɦɚɬɟ-
ɦɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɮɢɡɢɤɢ, ɜ ɬɨɦ ɱɢɫɥɟ ɫɦɟɲɚɧɧɵɯ ɡɚɞɚɱ ɞɥɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɬɟɩɥɨ-
ɩɪɨɜɨɞɧɨɫɬɢ ɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɤɨɥɟɛɚɧɢɣ. ȼ ɧɚɫɬɨɹɳɟɦ ɩɚɪɚɝɪɚɮɟ ɦɵ ɨɝɪɚɧɢ-
ɱɢɦɫɹ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɢɟɦ ɜɚɠɧɨɝɨ ɱɚɫɬɧɨɝɨ ɫɥɭɱɚɹ ɷɬɨɣ ɡɚɞɚɱɢ, ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɸ-
ɳɟɝɨ ɧɚɢɛɨɥɶɲɢɣ ɢɧɬɟɪɟɫ ɞɥɹ ɩɪɢɥɨɠɟɧɢɣ. ɋɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɚɹ ɡɚɞɚɱɚ ɮɨɪ-
ɦɭɥɢɪɭɟɬɫɹ ɫɥɟɞɭɸɳɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ:
Ɍɪɟɛɭɟɬɫɹ ɧɚɣɬɢ ɜɫɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɱɢɫɥɨɜɨɝɨ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ
O
, ɩɪɢ ɤɨɬɨɪɵɯ
ɫɭɳɟɫɬɜɭɸɬ ɧɟɬɪɢɜɢɚɥɶɧɵɟ (ɬɨ ɟɫɬɶ ɨɬɥɢɱɧɵɟ ɨɬ ɬɨɠɞɟɫɬɜɟɧɧɨɝɨ ɧɭɥɹ)
ɪɟɲɟɧɢɹ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
0
cc
)
x(
)
x(
O
,
lx
0
, (6.1)
ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɢɟ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ
000
11
c
)(X)(X
E
D
, (6.2)
0
22
c
)l(X)l(X
E
D
, (6.3)
ɢ ɧɚɣɬɢ ɷɬɢ ɪɟɲɟɧɢɹ.
Ɂɞɟɫɶ
l,
1
D
,
1
E
,
2
D
,
2
E
– ɡɚɞɚɧɧɵɟ ɜɟɳɟɫɬɜɟɧɧɵɟ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɟ, ɩɪɢɱɟɦ
0
2
1
2
1
!
E
D
, 0
2
2
2
2
!
E
D
.
Ɍɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɩɚɪɚɦɟɬɪɚ
O
, ɩɪɢ ɤɨɬɨɪɵɯ ɡɚɞɚɱɚ (6.1) – (6.3) ɢɦɟɟɬ ɧɟ-
ɬɪɢɜɢɚɥɶɧɵɟ ɪɟɲɟɧɢɹ, ɧɚɡɵɜɚɸɬɫɹ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɦɢ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦɢ, ɚ ɨɬɜɟɱɚɸ-
ɳɢɟ ɢɦ ɪɟɲɟɧɢɹ – ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɦɢ ɮɭɧɤɰɢɹɦɢ.
                 � m u( x,t )
                              � Au( x , t ) � f ( x , t ) , x � R n , 0 � t � T ,
                     �t m



                              � u ( x ,0 )          � m �1 u ( x , 0 )
           u( x , 0 ) � 0 ,                � 0, � ,                    � 0 , x � Rn ,
                                  �t                     � t m �1
����� ������������ ������������ �������
                                            t

                              u( x, t ) � � w ( x, t � � ; � )d� .
                                            0

    ����� �������, ������� ������� ��������� ������� ������� �����-
��� ������� ������ ��� ������������� ����������������� ��������� �
����������� ���������� ��������� � ������� ��������������� ������
��� ����������� ��������� � ������������� ���������� ���������, ��-
����� ������ �����, ��� �������� ������.


                         §6. ������ ������-��������

    ������ ������-�������� ��������� ��� ������� ������ ����� ����-
���������� ������, � ��� ����� ��������� ����� ��� ��������� �����-
����������� � ��������� ���������. � ��������� ��������� �� ������-
����� ������������� ������� �������� ������ ���� ������, �����������-
���� ���������� ������� ��� ����������. ��������������� ������ ���-
���������� ��������� �������:
    ��������� ����� ��� �������� ��������� ��������� � , ��� �������
���������� ������������� (�� ���� �������� �� �������������� ����)
������� ����������������� ���������
                               X ��( x ) � � X ( x ) � 0 , 0 � x � l ,                  (6.1)
��������������� ��������� ��������
                               � 1 X �( 0 ) � � 1 X ( 0 ) � 0 ,                         (6.2)
                                � 2 X �( l ) � � 2 X ( l ) � 0 ,                        (6.3)
� ����� ��� �������.
    ����� l, � 1 , � 1 , � 2 , � 2 – �������� ������������ ����������, ������
� 12 � � 12 � 0 , � 22 � � 22 � 0 .
    �� �������� ��������� � , ��� ������� ������ (6.1) – (6.3) ����� ��-
����������� �������, ���������� ������������ ����������, � �������-
��� �� ������� – ������������ ���������.


                                                24

Страницы