Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

31
ɛ)
000
1
c
)(Xh)(X ,
0
)
l(
X
( 0
1
!
h );
III. ɚ)
00
)
(
X
, 0
c
)
l(
X
; ( 0
2
h );
ɛ)
00
)
(
X
,
0
2
c
)l(Xh)l(X
(
0
2
!
h
)
IV. ɚ)
00
c
)
(
X
,
0
c
)
l(
X
( 0
21
hh );
ɛ)
00
c
)
(
X
, 0
2
c
)l(Xh)l(X ( 0
1
h , 0
2
!
h );
ɜ)
000
1
c
)(Xh)(X
, 0
c
)
l(
X
(
0
1
!
h
,
0
2
h
);
ɝ)
000
1
c
)(Xh)(X , 0
2
c
)l(Xh)l(X
(
0
1
!
h , 0
2
!
h ).
ɉɪɢɦɟɪ 1
. ɇɚɣɬɢ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ, ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɢ
ɤɜɚɞɪɚɬɵ ɧɨɪɦ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ
1
ɜ ɡɚɞɚɱɟ ɒɬɭɪɦɚ-Ʌɢɭɜɢɥɥɹ ɫ ɝɪɚ-
ɧɢɱɧɵɦɢ ɭɫɥɨɜɢɹɦɢ I:
00
)
(
X
, (6.18)
0
)
l(
X
. (6.19)
Ɋɟɲɟɧɢɟ
ȼ ɫɢɥɭ ɫɜɨɣɫɬɜɚ 6 ɜɫɟ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ
O
ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵ.
Ɉɛɳɟɟ ɪɟɲɟɧɢɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ (6.1) ɩɪɢ
0
!
O
ɢɦɟɟɬ ɜɢɞ
xBxA)x(X
OO
sincos
, (6.20)
ɝɞɟ
A ɢ B – ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɟ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɟ.
ɇɚɣɞɟɦ ɧɟɬɪɢɜɢɚɥɶɧɵɟ ɪɟɲɟɧɢɹ ɜɢɞɚ (6.20), ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɢɟ ɭɫɥɨ-
ɜɢɹɦ (6.18), (6.19). ɂɡ (6.18) ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ
0
, ɢ, ɬɚɤɢɦ ɨɛɪɚɡɨɦ,
xB)x(X
O
sin
;
ɩɪɢ ɷɬɨɦ
0
z
B .
ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɬɟɩɟɪɶ ɭɫɥɨɜɢɟ (6.19), ɢɦɟɟɦ
0
l
O
sin . (6.21)
Ɂɧɚɱɟɧɢɹ
0
!
O
, ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɢɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɸ (6.21), ɬɨ ɟɫɬɶ
1
Ɂɞɟɫɶ ɢ ɜ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɩɨɞ ɧɨɪɦɨɣ ɮɭɧɤɰɢɢ ɢɡ )l,(L 0
2
ɩɨɧɢɦɚɟɬɫɹ ɟɟ ɧɨɪɦɚ ɜ ɞɚɧɧɨɦ
ɩɪɨɫɬɪɚɧɫɬɜɟ (ɡɚɦɟɬɢɦ, ɱɬɨ ɞɥɹ ɮɭɧɤɰɢɣ, ɩɪɢɧɚɞɥɟɠɚɳɢɯ ɬɟɦ ɢɥɢ ɢɧɵɦ ɩɨɞɦɧɨɠɟɫɬ-
ɜɚɦ ɦɧɨɠɟɫɬɜɚ )l,(L 0
2
, ɦɨɠɧɨ ɨɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɢ ɞɪɭɝɢɟ ɧɨɪɦɵ; ɧɚɩɪɢɦɟɪ, ɟɫɥɢ ɮɭɧɤɰɢɹ
)x(f
ɧɟɩɪɟɪɵɜɧɚ ɧɚ ɨɬɪɟɡɤɟ
],[ l0
, ɧɚɪɹɞɭ ɫ ɟɟ ɧɨɪɦɨɣ ɜ
)l,(L 0
2
ɦɨɠɧɨ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢ-
ɜɚɬɶ ɧɨɪɦɭ
)x(ff
lx
C
dd
0
max
). 
             �) X �( 0 ) � h 1 X ( 0 ) � 0 , X ( l ) � 0 ( h 1 � 0 );

         III. �) X ( 0 ) � 0 , X �( l ) � 0 ; ( h 2 � 0 );
             �) X ( 0 ) � 0 , X �( l ) � h 2 X ( l ) � 0 ( h 2 � 0 )

         IV. �) X �( 0 ) � 0 , X �( l ) � 0 ( h 1 � h2 � 0 );

             �) X �( 0 ) � 0 , X �( l ) � h 2 X ( l ) � 0 ( h 1 � 0 , h 2 � 0 );
             �) X �( 0 ) � h 1 X ( 0 ) � 0 , X �( l ) � 0 ( h 1 � 0 , h 2 � 0 );

             �) X �( 0 ) � h 1 X ( 0 ) � 0 , X �( l ) � h 2 X ( l ) � 0
                                                 ( h 1 � 0 , h 2 � 0 ).
    ������ 1. ����� ����������� ��������, ����������� ������� �
�������� ���� ����������� ������� 1 � ������ ������-�������� � ���-
������� ��������� I:
                                          X( 0 ) � 0,                                  (6.18)
                                           X( l ) � 0.                                 (6.19)

                                                 �������

        � ���� �������� 6 ��� ����������� �������� � ������������.
        ����� ������� ��������� (6.1) ��� � � 0 ����� ���
                                  X ( x ) � A cos � x � B sin � x ,                    (6.20)
��� A � B – ������������ ����������.
     ������ ������������� ������� ���� (6.20), ��������������� ����-
���� (6.18), (6.19). �� (6.18) �������, ��� A � 0 , �, ����� �������,
                                         X ( x ) � B sin � x ;
��� ���� B � 0 .
    ��������� ������ ������� (6.19), �����
                                           sin � l � 0 .                               (6.21)
        �������� � � 0 , ��������������� ��������� (6.21), �� ����
1
    ����� � � ���������� ��� ������ ������� �� L 2 ( 0 , l ) ���������� �� ����� � ������
������������ (�������, ��� ��� �������, ������������� ��� ��� ���� ����������-
��� ��������� L 2 ( 0 , l ) , ����� ���������� � ������ �����; ��������, ���� �������
    f ( x ) ���������� �� ������� [0, l ] , ������ � �� ������ � L 2 ( 0 , l ) ����� ���������-
���� ����� f      C
                      � max f ( x ) ).
                       0 � x �l

                                                  31

Страницы