Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

33
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
x
h
xA)x(X
O
O
O
sincos
1
,
ɝɞɟ
A
– ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɚɹ ɩɨɫɬɨɹɧɧɚɹ, ɨɬɥɢɱɧɚɹ ɨɬ ɧɭɥɹ. ȼ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɛɭɞɟɦ
ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɬɶ, ɱɬɨ
1
A
.
ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɬɟɩɟɪɶ ɭɫɥɨɜɢɟ (6.24), ɩɨɥɭɱɢɦ, ɱɬɨ ɢɫɤɨɦɵɦɢ ɫɨɛɫɬɜɟɧ-
ɧɵɦɢ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦɢ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɜɟɥɢɱɢɧɵ
2
nn
W
O
, !,, 21
n , ɝɞɟ
n
W
– ɩɨɥɨ-
ɠɢɬɟɥɶɧɵɟ ɤɨɪɧɢ ɬɪɚɧɫɰɟɧɞɟɧɬɧɨɝɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
1
h
l
W
W
tg (6.25)
(ɥɟɝɤɨ ɜɢɞɟɬɶ, ɱɬɨ ɭɪɚɜɧɟɧɢɟ (6.25) ɢɦɟɟɬ ɫɱɟɬɧɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶ-
ɧɵɯ ɤɨɪɧɟɣ, ɹɜɥɹɸɳɢɯɫɹ ɚɛɫɰɢɫɫɚɦɢ ɬɨɱɟɤ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɹ ɝɪɚɮɢɤɨɜ ɮɭɧɤ-
ɰɢɣ
l
y
W
tg
ɢ
1
hy
W
).
ɋɨɛɫɬɜɟɧɧɨɦɭ ɡɧɚɱɟɧɢɸ
2
nn
W
O
ɨɬɜɟɱɚɟɬ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ
x
h
x)x(X
n
n
nn
W
W
W
sincos
1
, !,, 21
n . (6.26)
ɇɚɣɞɟɦ ɜɟɥɢɱɢɧɵ
2
n
X
,
!,, 21
n
. ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɢɡɜɟɫɬɧɭɸ ɮɨɪɦɭɥɭ
)ȝĮ(baba
sinsincos
22
DD
,
ɝɞɟ
a ɢ b – ɩɪɨɢɡɜɨɥɶɧɵɟ ɜɟɳɟɫɬɜɟɧɧɵɟ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬɵ, ɬɚɤɢɟ, ɱɬɨ
0
22
!
ba , ɢ ba
tg , ɡɚɩɢɲɟɦ ɮɭɧɤɰɢɸ )x(X
n
ɜɜɢɞɟ
)ȝxIJ(
h
)x(X
nn
n
n
n
sin
W
W
2
1
2
, !,, 21
n , (6.27)
ɝɞɟ
1
h
nn
W
tg . Ɍɨɝɞɚ
xd)ȝxIJ(
h
X
l
nn
n
n
n
³
0
2
2
2
1
2
2
sin
W
W
. (6.28)
Ⱦɚɥɟɟ,
> @
³³
xd)ȝxIJ(xd)ȝxIJ(
l
nn
l
nn
00
2
21
2
1
cossin
n
n
nn
n
ȝ)ȝlIJ(
l
2
4
1
2
4
1
2
sinsin
WW
. (6.29)
ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɮɨɪɦɭɥɵ
                                   �          h           �
                      X ( x ) � A �� cos � x � 1 sin � x �� ,
                                   �           �          �
��� A – ������������ ����������, �������� �� ����. � ���������� �����
������������, ��� A � 1 .
    ��������� ������ ������� (6.24), �������, ��� �������� ��������-
���� ���������� �������� �������� � n � � n2 , n � 1, 2, � , ��� � n – ����-
��������� ����� ���������������� ���������
                                                           �
                                            tg � l � �                                           (6.25)
                                                           h1
(����� ������, ��� ��������� (6.25) ����� ������� ��������� ����������-
��� ������, ���������� ���������� ����� ����������� �������� ����-
��� y � tg � l � y � � � h1 ).
     ������������ �������� � n � � n2 �������� ����������� �������
                                                                h1
                             X n ( x ) � cos � n x �                 sin � n x , n � 1, 2, � .   (6.26)
                                                                �n
                                       2
     ������ �������� X n , n � 1, 2, � . ��������� ��������� �������

                          a cos � � b sin � � a 2 � b 2 sin ( � � � ) ,
��� a � b – ������������ ������������ ������������, �����, ���
a 2 � b 2 � 0 , � tg � � a b , ������� ������� X n ( x ) � ����
                                           � n2 � h12
                        Xn( x ) �                        sin ( � n x � �n ) , n � 1, 2, � ,      (6.27)
                                             �n
��� tg � n � � n h1 . �����

                                       � n2 � h12   l

                                                    � sin
                               2
                          Xn       �                        2
                                                                ( � n x � �n ) d x .             (6.28)
                                           � n2     0

     �����,
           l                                        l
                                                1
           �
           0
               sin 2 ( � n x � �n ) d x �
                                                2   � �1 � cos 2 ( �
                                                    0
                                                                          n   x � �n ) � d x �

                          l   1                          1
                      �     �    sin 2 ( � n l � �n ) �      sin 2 �n .                          (6.29)
                          2 4� n                        4� n
     ��������� �������

                                                    33

Страницы