Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 34 стр.

UptoLike

Составители: 

34
D
D
D
2
tg1
tg
sin
2
2
,
ED
E
D
tgtg
tgtg
tg
1
)ȕĮ(
ɢ ɭɱɢɬɵɜɚɹ, ɱɬɨ
1
hl
nn
W
W
tg
(ɜ ɫɢɥɭ (6.25)) ɢ
1
h
nn
W
P
tg
, ɢɦɟɟɦ:
02
)ȝlIJ(
nn
sin
,
2
1
2
1
2
2
h
h
ȝ
n
n
n
W
W
sin , !,, 21
n . (6.30)
ɂɡ (6.28) – (6.30) ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ
2
1
2
1
2
2
2
n
n
n
hhl
X
W
W
, !,, 21
n .
ɉɪɢɦɟɪ 3
. ɇɚɣɬɢ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ, ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɢ
ɤɜɚɞɪɚɬɵ ɧɨɪɦ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɜ ɡɚɞɚɱɟ ɒɬɭɪɦɚ-Ʌɢɭɜɢɥɥɹ ɫ ɝɪɚ-
ɧɢɱɧɵɦɢ ɭɫɥɨɜɢɹɦɢ IV ɚ):
00
c
)
(
X
, 0
c
)
l(
X
(6.31)
Ɋɟɲɟɧɢɟ
ȼ ɫɢɥɭ ɫɜɨɣɫɬɜɚ 6, ɜ ɡɚɞɚɱɟ ɒɬɭɪɦɚ-Ʌɢɭɜɢɥɥɹ ɫ ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɵɦɢ
ɝɪɚɧɢɱɧɵɦɢ ɭɫɥɨɜɢɹɦɢ ɧɚɢɦɟɧɶɲɟɟ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɪɚɜɧɨ ɧɭɥɸ, ɢ
ɟɦɭ ɨɬɜɟɱɚɟɬ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ
0
z
{
const
)
x(
X
. ȼ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɛɭ-
ɞɟɦ ɨɛɨɡɧɚɱɚɬɶ ɭɤɚɡɚɧɧɨɟ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɱɟɪɟɡ
0
O
ɢ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɬɶ,
ɱɬɨ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɚɹ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ
1
0
{
)x(X .
ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɮɨɪɦɭɥɭ (6.20) ɢ ɝɪɚɧɢɱɧɵɟ ɭɫɥɨɜɢɹ (6.31), ɧɚɯɨɞɢɦ ɩɨɥɨ-
ɠɢɬɟɥɶɧɵɟ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ ɢ ɨɬɜɟɱɚɸɳɢɟ ɢɦ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ:
2
¸
¹
·
¨
©
§
l
n
n
S
O
,
l
xn
)x(X
n
S
cos
, (6.32)
ɝɞɟ
1
t
n
.
ȼɫɸ ɫɨɜɨɤɭɩɧɨɫɬɶ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɡɧɚɱɟɧɢɣ ɢ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɜ
ɪɚɫɫɦɚɬɪɢɜɚɟɦɨɣ ɡɚɞɚɱɟ ɦɨɠɧɨ ɬɚɤɠɟ ɡɚɩɢɫɚɬɶ ɜ ɜɢɞɟ (6.32), ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɹ,
ɱɬɨ
!210 ,,
n .
Ʌɟɝɤɨ ɜɢɞɟɬɶ, ɱɬɨ
lX
2
0
,
2
2
lX
n
ɞɥɹ !21,
n .
ɉɪɢɦɟɪ 4
. ɇɚɣɬɢ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɟ ɡɧɚɱɟɧɢɹ, ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ ɢ
ɤɜɚɞɪɚɬɵ ɧɨɪɦ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɯ ɮɭɧɤɰɢɣ ɜ ɡɚɞɚɱɟ ɒɬɭɪɦɚ-Ʌɢɭɜɢɥɥɹ ɫ ɝɪɚ-
ɧɢɱɧɵɦɢ ɭɫɥɨɜɢɹɦɢ IV ɝ):
000
1
c
)(Xh)(X , 0
2
c
)l(Xh)l(X ,
                                    2 tg�                     tg � � tg �
                    sin 2� �                , tg ( � � � ) �
                                  1 � tg 2�                  1 � tg� tg �
� ��������, ��� tg � n l � � � n h 1 (� ���� (6.25)) � tg � n � � n h1 , �����:
                                                                  2� n h 1
                sin 2 ( � n l � �n ) � 0 , sin 2 �n �                        , n � 1, 2, � . (6.30)
                                                                 � n2 � h 21
     �� (6.28) – (6.30) �������, ���
                                  2       l �� n2 � h12 � � h1
                         Xn           �                          , n � 1, 2, � .
                                                  2 � n2
    ������ 3. ����� ����������� ��������, ����������� ������� �
�������� ���� ����������� ������� � ������ ������-�������� � ���-
������� ��������� IV �):
                                  X �( 0 ) � 0 , X �( l ) � 0                               (6.31)
                                                  �������
    � ���� �������� 6, � ������ ������-�������� � ����������������
���������� ��������� ���������� ����������� �������� ����� ����, �
��� �������� ����������� ������� X ( x ) � const � 0 . � ���������� ��-
��� ���������� ��������� ����������� �������� ����� � 0 � ������������,
��� ��������������� ����������� ������� X 0 ( x ) � 1 .
     ��������� ������� (6.20) � ��������� ������� (6.31), ������� ����-
��������� ����������� �������� � ���������� �� ����������� �������:
                                              2
                                  � n� �                   n� x
                        �n � �         � , X n ( x ) � cos      ,                           (6.32)
                                  �  l �                    l
��� n � 1 .
    ��� ������������ ����������� �������� � ����������� ������� �
��������������� ������ ����� ����� �������� � ���� (6.32), �����������,
��� n � 0, 1, 2 � .
    ����� ������, ���
                              2                     2
                        X0        � l , Xn              � l 2 ��� n � 1, 2 � .
    ������ 4. ����� ����������� ��������, ����������� ������� �
�������� ���� ����������� ������� � ������ ������-�������� � ���-
������� ��������� IV �):
                    X �( 0 ) � h 1 X ( 0 ) � 0 , X �( l ) � h 2 X ( l ) � 0 ,


                                                   34