Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

35
ɝɞɟ
0
1
!
h , 0
2
!
h .
Ɋɟɲɟɧɢɟ
ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɬɟ ɠɟ ɪɚɫɫɭɠɞɟɧɢɹ, ɱɬɨ ɢ ɜ ɩɪɢɦɟɪɟ 2, ɩɨɥɭɱɢɦ, ɱɬɨ ɢɫɤɨ-
ɦɵɦɢ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɦɢ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦɢ ɹɜɥɹɸɬɫɹ ɜɟɥɢɱɢɧɵ
2
nn
W
O
,
!,, 21
n
,
ɝɞɟ
n
W
– ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɟ ɤɨɪɧɢ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
W
WW
q
pl
ctg , (6.33)
21
1
hh
p
,
21
21
hh
hh
q
.
Ɂɚɦɟɬɢɦ, ɱɬɨ ɮɭɧɤɰɢɹ
W
W
qpy
ɦɨɧɨɬɨɧɧɨ ɜɨɡɪɚɫɬɚɟɬ ɜ ɫɜɨɟɣ
ɨɛɥɚɫɬɢ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɹ (ɩɪɢ
0
z
W
) ɢ ɟɟ ɝɪɚɮɢɤ ɢɦɟɟɬ ɧɚɤɥɨɧɧɭɸ ɚɫɢɦɩɬɨɬɭ
W
p
y
ɢ ɜɟɪɬɢɤɚɥɶɧɭɸ ɚɫɢɦɩɬɨɬɭ 0
W
. Ʌɟɝɤɨ ɜɢɞɟɬɶ ɬɚɤɠɟ, ɱɬɨ ɭɪɚɜɧɟ-
ɧɢɟ (6.33) ɢɦɟɟɬ ɫɱɟɬɧɨɟ ɦɧɨɠɟɫɬɜɨ ɩɨɥɨɠɢɬɟɥɶɧɵɯ ɤɨɪɧɟɣ, ɹɜɥɹɸɳɢɯɫɹ
ɚɛɫɰɢɫɫɚɦɢ ɬɨɱɟɤ ɩɟɪɟɫɟɱɟɧɢɹ ɝɪɚɮɢɤɨɜ ɮɭɧɤɰɢɣ
l
y
W
ctg
ɢ
W
W
qpy
.
ɋɨɛɫɬɜɟɧɧɵɦ ɡɧɚɱɟɧɢɹɦ
2
nn
W
O
ɨɬɜɟɱɚɸɬ ɫɨɛɫɬɜɟɧɧɵɟ ɮɭɧɤɰɢɢ
x
h
x)x(X
n
n
nn
W
W
W
sincos
1
, !,, 21
n .
ɂɫɩɨɥɶɡɭɹ ɮɨɪɦɭɥɵ (6.27) – (6.29), ɢɦɟɟɦ:
I
h
X
n
n
n
2
2
1
2
2
W
W
,
!,, 21
n
, (6.34)
ɝɞɟ
n
n
nn
n
)ȝlIJ(
l
I
P
WW
2
4
1
2
4
1
2
sinsin
, (6.35)
nn
h
W
P
1
ctg . (6.36)
ɂɡ (6.33) ɫɥɟɞɭɟɬ, ɱɬɨ
)hh(
hh
l
n
n
n
21
21
2
W
W
W
ctg , !,, 21
n . (6.37)
ȼɨɫɩɨɥɶɡɨɜɚɜɲɢɫɶ ɬɟɩɟɪɶ ɮɨɪɦɭɥɚɦɢ
��� h 1 � 0 , h 2 � 0 .
                                             �������

   ��������� �� �� �����������, ��� � � ������� 2, �������, ��� ����-
���� ������������ ���������� �������� �������� � n � � n2 , n � 1, 2, � ,
��� � n – ������������� ����� ���������
                                               q
                                 ctg � l � p� � ,                                (6.33)
                                                     �
                                     1         h1 h2
                             p�           ,q�         .
                                  h1 � h2     h1 � h2
     �������, ��� ������� y � p� � q � ��������� ���������� � �����
������� ����������� (��� � � 0 ) � �� ������ ����� ��������� ���������
 y � p� � ������������ ��������� � � 0 . ����� ������ �����, ��� ������-
��� (6.33) ����� ������� ��������� ������������� ������, ����������
���������� ����� ����������� �������� ������� y � ctg � l �
 y � p� � q � .
      ����������� ��������� � n � � n2 �������� ����������� �������
                                                h1
                      X n ( x ) � cos � n x �        sin � n x , n � 1, 2, � .
                                                �n
      ��������� ������� (6.27) – (6.29), �����:
                                    2       � n2 � h12
                               Xn       �              I , n � 1, 2, � ,         (6.34)
                                                � n2
���
                           l   1                          1
                      I�     �    sin 2 ( � n l � �n ) �      sin 2 � n ,        (6.35)
                           2 4� n                        4� n
                                     ctg � n � h1 � n .                          (6.36)
      �� (6.33) �������, ���
                                             � n2 � h 1 h 2
                              ctg � n l �                   , n � 1, 2, � .      (6.37)
                                            � n ( h1 � h2 )
      ���������������� ������ ���������


                                              35

Страницы