Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний. Куликов А.А. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

37
Ɂɞɟɫɶ
0
!
a
,
0
!
l
,
1
D
,
1
E
,
2
D
,
2
E
– ɡɚɞɚɧɧɵɟ ɩɨɫɬɨɹɧɧɵɟ, ɩɪɢɱɟɦ
0
2
1
2
1
!
E
D
, 0
2
2
2
2
!
E
D
;
)
x(
M
– ɡɚɞɚɧɧɚɹ ɮɭɧɤɰɢɹ.
Ⱦɥɹ ɪɟɲɟɧɢɹ ɡɚɞɚɱɢ (7.1) – (7.4) ɪɚɫɫɦɨɬɪɢɦ ɫɥɟɞɭɸɳɭɸ ɜɫɩɨɦɨɝɚ-
ɬɟɥɶɧɭɸ ɡɚɞɚɱɭ:
ɇɚɣɬɢ ɧɟɬɪɢɜɢɚɥɶɧɵɟ ɪɟɲɟɧɢɹ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ
xxt
UaU
2
,
lx
0
,
0
!
t
, (7.5)
ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɸɳɢɟ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ
000
11
)t,(U)t,(U
x
E
D
, 0
!
t , (7.6)
0
22
)tl,(U)tl,(U
x
E
D
,
0
!
t
(7.7)
ɢ ɩɪɟɞɫɬɚɜɢɦɵɟ ɜ ɜɢɞɟ
t
(
T
x(
X
t
x,U(
(7.8)
ɝɞɟ
x
(
X
– ɮɭɧɤɰɢɹ, ɧɟ ɡɚɜɢɫɹɳɚɹ ɨɬ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ t ,
t(
T
– ɮɭɧɤɰɢɹ, ɧɟ
ɡɚɜɢɫɹɳɚɹ ɨɬ ɩɟɪɟɦɟɧɧɨɣ x .
ɉɨɞɫɬɚɜɥɹɹ (7.8) ɜ (7.5) ɢ ɪɚɡɞɟɥɢɜ ɩɨɥɭɱɟɧɧɨɟ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ ɧɚ
)t(T)x(Xa
2
, ɢɦɟɟɦ:
)x(X
)x(X
)t(Ta
)t(T
c
c
c
2
. (7.9)
Ʌɟɜɚɹ ɱɚɫɬɶ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ (7.9) ɧɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ x , ɚ ɩɪɚɜɚɹ ɧɟ ɡɚɜɢɫɢɬ ɨɬ
t .
ɉɨɷɬɨɦɭ ɪɚɜɟɧɫɬɜɨ (7.9) ɜɨɡɦɨɠɧɨ ɥɢɲɶ ɜ ɬɨɦ ɫɥɭɱɚɟ, ɤɨɝɞɚ ɨɛɟ ɟɝɨ ɱɚɫɬɢ
ɪɚɜɧɵ ɩɨɫɬɨɹɧɧɨɣ:
const
c
c
c
O
)x(X
)x(X
)t(Ta
)t(T
2
(7.10)
(ɦɵ ɧɟ ɩɪɟɞɩɨɥɚɝɚɟɦ ɡɚɪɚɧɟɟ, ɤɚɤɨɣ ɡɧɚɤ ɢɦɟɟɬ ɩɨɫɬɨɹɧɧɚɹ
,
O
ɚɡɧɚɤ «– »
ɜ ɩɪɚɜɨɣ ɱɚɫɬɢ ɪɚɜɟɧɫɬɜɚ (7.10) ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɧ ɞɥɹ ɭɞɨɛɫɬɜɚ ɩɨɫɥɟɞɭɸɳɟɝɨ
ɢɡɥɨɠɟɧɢɹ ɦɚɬɟɪɢɚɥɚ).
ɂɡ (7.10) ɩɨɥɭɱɚɟɦ ɞɢɮɮɟɪɟɧɰɢɚɥɶɧɵɟ ɭɪɚɜɧɟɧɢɹ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ
ɮɭɧɤɰɢɣ
t(
T
ɢ
x
(
X
:
0
2
c
)t(Ta)t(T
O
, (7.11)
0
cc
x
(
X
x
(
X
O
. (7.12)
ɉɨɞɫɬɚɜɥɹɹ (7.8) ɜ (7.6) ɢɜ (7.7), ɩɨɥɭɱɢɦ, ɱɬɨ ɮɭɧɤɰɢɹ
)
x(
X
ɞɨɥɠɧɚ
ɭɞɨɜɥɟɬɜɨɪɹɬɶ ɝɪɚɧɢɱɧɵɦ ɭɫɥɨɜɢɹɦ
000
11
c
)(X)(X
E
D
, (7.13) 
����� a � 0 , l � 0 , � 1 , � 1 , � 2 , � 2 – �������� ����������, ������
� 12 � � 12 � 0 , � 22 � � 22 � 0 ; � ( x ) – �������� �������.
      ��� ������� ������ (7.1) – (7.4) ���������� ��������� ��������-
������� ������:
      ����� ������������� ������� ���������
                   U t � a 2U xx , 0 � x � l , t � 0 ,                 (7.5)
��������������� ��������� ��������
                   � 1U x ( 0 ,t ) � � 1 U ( 0 , t ) � 0 , t � 0 ,     (7.6)
                   � 2U x ( l, t ) � � 2 U ( l, t ) � 0 , t � 0        (7.7)
� ������������ � ����
                         U( x, t ) � X ( x ) T ( t )                   (7.8)
��� X ( x ) – �������, �� ��������� �� ���������� t , T ( t ) – �������, ��
��������� �� ���������� x .
      ���������� (7.8) � (7.5) � �������� ���������� ��������� ��
a 2 X ( x )T ( t ) , �����:

                               T �( t )   X ��( x )
                                        �           .                  (7.9)
                              a 2T ( t ) X ( x )
    ����� ����� ��������� (7.9) �� ������� �� x , � ������ �� ������� �� t .
������� ��������� (7.9) �������� ���� � ��� ������, ����� ��� ��� �����
����� ����������:
                       T �( t )   X ��( x )
                                �           � � � � const            (7.10)
                      a T( t ) X( x )
                        2



(�� �� ������������ �������, ����� ���� ����� ���������� � , � ���� « – »
� ������ ����� ��������� (7.10) ����������� ��� �������� ������������
��������� ���������).
    �� (7.10) �������� ���������������� ��������� ������������
������� T ( t ) � X ( x ) :
                         T �( t ) � a 2 � T ( t ) � 0 ,              (7.11)
                            X ��( x ) � � X ( x ) � 0 .              (7.12)
    ���������� (7.8) � (7.6) � � (7.7), �������, ��� ������� X ( x ) ������
������������� ��������� ��������
                           � 1 X �( 0 ) � � 1 X ( 0 ) � 0 ,          (7.13)

                                          37

Страницы